理科

海淀区高三年级第二学期期末 数 学 （理科） 2011.5 选择 （共40分） 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数 在复平面上对应的点的坐标是 A． B. C. D. 2. 已知全集 集合 , ，下图中阴影部分所示的集合为 A B. C. D. 3．函数 的零点所在区间 A． B. C. D. 4.若直线 的参数方程为 ，则直线 倾斜角的余弦值为 A． B． C． D． 5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下： 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是 A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 7．若椭圆 ： （ ）和椭圆 ： （ ） 的焦点相同且 .给出如下四个结论： 1​ 椭圆 和椭圆 一定没有公共点； ② ； ③ ； ④ . 其中，所有正确结论的序号是 A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③ 8. 在一个正方体 中， 为正方形 四边上的动点， 为底面正方形 的中心， 分别为 中点，点 为平面 内一点，线段 与 互相平分，则满足 的实数 的值有 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 非选择题（共110分） 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9．点 在不等式组 表示的平面区域内，则 的最大值为_______. 10．运行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为 . 11．若 ， 其中 ，则实数 的值为 ； 的值为 . 12．如图，已知 的弦 交半径 于点 ，若 ， ，且 为 的中点，则 的长为 . 13．已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和的最大值为 ，则 . 14. 已知函数 （1）判断下列三个命题的真假： ① 是偶函数；② ；③当 时， 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足 的正整数 的最小值为___________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共13分） 已知函数 的最小正周期为 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求函数 的单调区间及其图象的对称轴方程. 16.（本小题共13分） 某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的. (Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率； (Ⅱ) 用 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求 的分布列和数学期望. 17.(本小题共14分) 如图，四棱锥 的底面是直角梯形， ， ， 和 是两个边长为 的正三角形， ， 为 的中点， 为 的中点． (Ⅰ)求证： 平面 ； (Ⅱ)求证： 平面 ； (Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值． 18. (本小题共14分） 已知函数 . . （I）当 时，求曲线 在 处的切线方程（ ）； （II）求函数 的单调区间. 19．(本小题共13分） 在平面直角坐标系 中，设点 ，以线段 为直径的圆经过原点 . （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 与轨迹 交于两点 ，点 关于 轴的对称点为 ，试判断直线 是否恒过一定点，并证明你的结论. 20. (本小题共13分） 对于数列 ，若满足 ，则称数列 为“0-1数列”.定义变换 ， 将“0-1数列” 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如 :1,0,1，则 设 是“0-1数列”，令 . (Ⅰ) 若数列 ： 求数列 ； (Ⅱ) 若数列 共有10项，则数列 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若 为0，1，记数列 中连续两项都是0的数对个数为 ， .求 关于 的表达式. 海淀区高三年级第二学期期末练习 数学（理）答案及评分参考2011．5 选择题 （共40分） 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B D C B C 非选择题 （共110分） 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分） 9. 6 10. 11 11. ， 12. 13. 14. ①② , 9 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（Ⅰ） ………………………2分 , …………………………3分 因为 最小正周期为 ,所以 ，解得 , …………………………4分 所以 , ………………………… 5分 所以 . ………………………6分 （Ⅱ）分别由 ， 可得 ， ………………8分 所以,函数 的单调增区间为 ； 的单调减区间为 ………………………10分 由 得 . 所以， 图象的对称轴方程为 . ………………………13分 16.（共13分） 解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为 , …………………………1分 由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是 ， ……………………………3分 则 ……………………………6分 (Ⅱ) 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分 由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为 ，且每个人下电梯互不影响， 所以， . ……………………………9分 0 1 2 3 4 ………………………………11分 . ………………………………13分 17.(共14分)（Ⅰ）证明：设 为 的中点，连接 ，则 ∵ ， ， ， ∴四边形 为正方形， ∵ 为 的中点，∴ 为 的交点，∵ ， ∴ ，……………………..2分 ∵ ，∴ ， ， 在三角形 中， ，∴ ，……………………………4分 ∵ ，∴ 平面 ； ……………………………5分 (Ⅱ)1：连接 ，∵ 为 的中点， 为 中点， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . ……………………………9分 方法2：由(Ⅰ)知 平面 ，又 ，所以过 分别做 的平行线，以它们做 轴，以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得： ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ， . ∴ ∴ ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；……………………9分 (Ⅲ) 设平面 的法向量为 ，直线 与平面 所成角 ， 则 ，即 ， 解得 ，令 ，则平面 的一个法向量为 ， 又 ，则 ， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .……………………………14分 18. (共14分） 解：（I）当 时， ， ， ………………………2分 所以 ， ， ………………………4分 所以曲线 在 处的切线方程为 .………………………5分 （II）函数 的定义域为 ，…………………………6分 ①当 时， ，在 上 ，在 上 所以 在 上单调递增，在 上递减； ……………………………………………8分 ②当 时，在 和 上 ，在 上 所以 在 和 上单调递增，在 上递减；………………………10分 ③当 时，在 上 且仅有 ， 所以 在 上单调递增；……………………………………12分 ④当 时，在 和 上 ，在 上 所以 在 和 上单调递增，在 上递减……………………………14分 19．(共13分） 解：（I）由题意可得 ， ……………………………2分 所以 ，即 ………………………………4分 即 ，即动点 的轨迹 的方程为 ……………5分 （II）设直线 的方程为 , ，则 . 由 消 整理得 ，……………………………6分 则 ，即 .………………………………7分 . …………………………………9分 直线 …………………………………12分 即 所以，直线 恒过定点 .…………………………………13分 20. (共13分） 解：(Ⅰ)由变换 的定义可得 …………………………………2分 …………………………………4分 (Ⅱ) 数列 中连续两项相等的数对至少有10对………………………………5分 证明：对于任意一个“0-1数列” ， 中每一个1在 中对应连续四项1,0,0,1，在 中每一个0在 中对应的连续四项为0,1,1,0， 因此，共有10项的“0-1数列” 中的每一个项在 中都会对应一个连续相等的数对， 所以 中至少有10对连续相等的数对.……………………………………………8分 (Ⅲ) 设 中有 个01数对， 中的00数对只能由 中的01数对得到，所以 ， 中的01数对有两个产生途径：①由 中的1得到； ②由 中00得到， 由变换 的定义及 可得 中0和1的个数总相等，且共有 个， 所以 ，所以 ， 由 可得 ， ，所以 ， 当 时， 若 为偶数， 上述各式相加可得 ， 经检验， 时，也满足 若 为奇数， 上述各式相加可得 ， 经检验， 时，也满足 所以 ………………………………………..13分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.