分布函数和出射率

分布函数和出射率� 郑 立 贤 (华南理工大学应用物理系,广东 广州 510641) 摘 � 要: 以理想气体泻流和黑体辐射为例, 给出了由分布函数推导出射率的典型方法, 简单 地回答了大学物理教学过程中常常被提及的分布函数和出射率关系问。 关键词: 分布函数; 出射率; 泻流; 黑体辐射 中图分类号: O414�1 � � 文献标识码: A � � 文章编号: 1007�1792 ( 2004) 03�0011�02 无论是处于热平衡状态的理想气体还是热辐射场, 它们的宏观性质都完全由微观状态 的分布函数所决定。本文将以理想气体泻流和黑体辐射为例, 尝试回答在大学物理教学过 程中学生经常提出的有关分布函数和出射率的关系问题。 理想气体的分布函数就是气体分子的麦克斯韦速度分布函数 f ( v, T ) , 它描述在特定 的热平衡状态下任意气体分子的速度取特定数值的概率, 或者运动速度取特定数值的气体 分子占全部气体分子的比例份额。如果在封闭容器的器壁上开一个小孔, 气体将由小孔向 外泄漏, 这就是物理实验和理论教学中常常涉及的气体泻流问题[ 1]。不难想像, 如果小孔 足够小, 短时期内不显著地改变容器内气体的平衡状态, 那么 dt 时间内泄漏出去的气体 分子数目将正比于小孔的面积 dA , 即 dN = MdA dt (1) 式中的比例系数 M 称为气体分子的出射率, 它显然依赖于气体的宏观状态参量, 如温度 T 等。由速度分布函数可以直接确定出射率。 设气体分子数的空间密度为 n,体积为dV = v xdA dt的柱体中速度取值为v � v+ dv 的 气体分子数目为 dN ( v) = nf ( v , T ) vx dvxdvy dv zdA dt (2) 它们将在 dt 时间内由小孔溢出。所以, 时间 dt 内泄漏出去的气体分子总数为 dN = dN ( v) (3) 注意到速度分布函数实际上对速度是各向同性的, 即 f ( v, T ) = m 2�kT 3/ 2 exp - mv 2 2kT (4) 积分表达式 ( 3) 在球坐标系可以写作 � 收稿日期: 2004- 03- 04 作者简介: 郑立贤 ( 1979年生) , 男, 助教. 中山大学学报论丛, 2004 年 第 24卷 第 3 期 SUN YATSEN UNIVERSITY FORUM, Vol�24� No�3 � 2004 dN = � nf ( v, T ) ( v cos �) ( v2sin �d�d dv )dA dt (5) 其中积分变量 �, 和v 的取值范围分别是 0 � �/ 2, 0 � 2�和0 �+ ! 。完成上述积分, 可 得泄流的出射率公式 M(T ) = n kT 2�m 1/ 2 (6) � � 在研究黑体辐射问题时也涉及分布函数和出射率问题。热辐射的出射率是实验中可以 直接测量的物理量, 而理论上易于推导的却是空腔内辐射场的分布函数。所谓热辐射场就 是处于热平衡状态的电磁场, 各向同性是它的显著特征。由于所有的光子都具有恒定的速 率 c, 其微观状态由动量或波矢确定 (在此忽略光的偏振自由度)。定义 dI ( k, T ) = f ( k, T )d!d ∀ (7) 表示单位体积中传播方向处于立体角 d ∀ , 波长为 !� !+ d!的热辐射能, 则热辐射谱分 布函数为 F( !, T ) = f ( k, T )d ∀ (8) 理想的热辐射场是各向同性的, 即 f ( k, T ) = F( !, T ) 4� (9) 所以, 时间 dt内由小孔面积 dA 向外辐射的波长为 !� !+ d!的电磁能为 �/ 20 d� 2�0 d f ( k, T ) ccos �sin �d!dAdt = c4 F ( !, T ) d!dA dt (10) 比例系数称为单色辐射出射度 M ( !, T )。出射度与分布函数的关系[ 2] M ( !, T ) = c 4 F ( !, T ) (11) 是关于空腔热辐射或黑体辐射研究中的一个基本关系, 在基础物理教学中常常引用。 参考文献: [ 1] � 汪志诚.热力学统计物理[ M] .第 2 版.北京: 高等教育出版社, 1993: 244. [ 2] � 王正行.近代物理学[ M] .北京: 北京大学出版社, 1995: 280. (责任编辑: 张楚民) ∀12∀