南京市2004年中考数学试题

南京市2004年中考试 南京市2004年中考数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 1、​ 选择题（每小题2分，共30分）： 1．下列四个数中，在－2到0之间的数是（　　　）． (A) －1 　 (B) 1 　　　 (C) －3　　 　 (D) 3 ２．计算x 6÷x 3的结果是（ ）． (A) x 9 (B) x 3 (C) x 2 (D) 2 3．光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9 500 000 000 000km，用科学记数法可示为( )． (A) 950×1010 km (B) 95×1011 km (C) 9.5×1012 km (D) 0.95×1013 km 4．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（　　　）． (A) 1 (B) 0 (C) －1 (D) －3 5．下列二次根式中，最简二次根式是( )． (A) (B) 　 (C) (D) 6．方程x2 －4x＋4＝0根的情况是（　　　）． 　　 (A)有两个不相等的实数根 (B) 有两个相等的实数根 (C) 有一个实数根 (D)没有实数根 7. 不等式x－2＜0的正整数解是( ). (A)1 (B)0，1 (C)1，2 (D)0，1，2 8．在平面直角坐标系中，点P（2，1）关于原点对称的点在（　）． (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 9．抛物线y＝(x－2)2的顶点坐标是（　）． 　　(A)（2，0） (B)（－2，0） (C)（0，2） (D)（0，－2） 10. 如果∠α＝20°，那么∠α的补角等于（ ）． (A) 20° (B) 70° (C) 110° (D) 160° 11．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为（　）． 　　(A) 320 cm (B) 320 m (C) 2000 cm (D) 2000 m 12．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）． (A) 等腰梯形 (B) 正方形 (C) 矩形 (D) 菱形 13．在△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinA的值是( ). (A) (B) (C) (D) 14．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于（　　　）． (A) 70° (B) 35° (C) 20° (D) 10° 15．如图，边长为12 m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3 m．现用长4 m的绳子将一头羊栓在其中的一棵数上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子栓在（　　　）． (A) A处　 (B) B处　 (C) C处 (D) D处 二、填空题（每小题2分，共10分） 16．计算： ＝　　　　　　　　． 17．分解因式：3x2－3＝　　　　　　　　　　． 18．写出一个无理数，使它与 的积是有理数：　　　　． 19．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB＝３cm，则PD＝ cm． 　　 20. 如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE＝1 cm，EF＝３cm，则AB＝ cm． 三、（每小题５分，共25分）　　　　　　 21．计算： ． 22．解不等式组 23．已知方程x ＋kx－6＝０的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 24．已知：如图，E、F是□ABCD的对角线上的两点，AE＝CF． 求证：(1) △ABE≌△CDF； (2) BE∥DF是平行四边形． 25．为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下： 月用水量（吨） 10 13 14 17 18 户数 2 2 3 2 1 (1) 计算这家庭的平均月用水量； (2) 如果该小区有500户家庭，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月共用水多少吨？ 四、（每小题6分，共12分） 26．在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例，其图象如图所示． (1) 求p与S之间的函数关系式； (2) 求当S＝0.5 m2时物体承受的压强p． 27．(1)如果二次函数y＝x2－2 x＋c的图象经过点（1，2），求这个二次函数的解析式，并写出该函数图象的对称轴； (2)图象的对称轴是y轴的二次函数有无数个．试写出两个不同的二次函数解析式，使这两个函数图象的对称轴是y轴． 五、（每小题6分，共12分） 28．如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°．已知AB＝20 m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）． 29．某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b，另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例． 当x＝20时，y＝1600，当x＝30时，y＝2000． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？ 形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大． (1)选择：如图1，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为（ ）． A．2、点P B． 、点P C．2、点O D． 、点O 图１　　 图２ (2) 如图２，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形．阅读后证明相应问题． 画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上； ②连结OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′， 作E′D′∥ED，交OB于点D′； ③连结C′D′．则△C′D′E′是△AOB的内接三角形． 求证：△C′D′E′是等边三角形． 七、（本题7分） 31．某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价． 八、（本题9分） 32．如图1，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4 cm / s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1 cm / s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1) t为何值时，四边形APQD为矩形？ (2) 如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2 cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？ 图１ 图２ 九、（本题８分） 33．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C． (1)当AB＝4，DC＝1，BC＝4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD？如果存在求线段BP的长；如果不存在，请说明理由． (2)设AB＝a，DC＝b，AD＝c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？ 南京市 1．A． 2．B 3．C 4．B． 5．C． 6．B． 7．A． 8．C． 9．A． 10．D． 1 1．D． 1 2．D． 1 3．A．1 4．c． 15．B． 16．1 17．3(x+1)(x-1)． 18．答案不唯一，例如： 、2 ． 19．3． 20．5．21．4． 22．-3≤x<3． 23．方程的另一个根是-3，k的值是1． 24．(1)∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∵AE=CF，△△ABE∽△CDF； (2)∵△ABE≌△CDF，△∠AEB=∠CFD，△∠BEC=∠DFA，△BE∥DF． 25．(1)14(吨)，即这10户家庭的平均月用水量为14吨； (2)500×14=7 000．估计该小区居民每月共用水7 000吨． 26．(1)设p=k/S ∵点A(0．1，1000)在函数图象上 p与s之间的函数关系式是p=100/S； (2)当S=0．5 m2时，p=200(Pa)． 27．(1)根据题意，得2=1—2+c，∴c=3，∴这个二次函数的解析式是y=x2—2x+3，∴该函数图象的对称轴是x=1； (2)答案不唯一，例如：y=x2，y=x2—1等． 28．作CD⊥AB，垂足为D．设气球离地面的高度是xm． 在Rt△ACD中，∠CAD=45° ∴AD=CD=x． 在Rt△CBD中，∠CBD=60° ∴cot60°=BD/CD ∴BD= X/3 ∵ AB=AD—BD，∴20=X- X/3．∴ X=30+10 答：气球离地面的高度是(30+10 )m． 29．(1)y与x之间的函数关系式是y=40x+800； (2)当x=50时，y=2800，则2800/50=5 6，． ∴每名运动员需要支付56元． 3.(1)D； (2)∵ EC∥E'C’，．∴ CE/C'E'=OE/OE' ，∠CEO=∠C'E'O．∴ED∥E'D’， ∴ED/E'D'=OE/OE'，∠DEO=∠D'E'O． ∴ CE/C'E'=ED/E'D' ，∠CED=∠C'E'D’∵△CDE是等边三角形，． ∴CE=ED，∠CED=60°．∴C'E’=E’D’，∠C'E'D’=60°． ∴ △C'E'D’是等边三角形． 31．设每盒茶叶的进价为x元．根据题意，得50×20％x-5(2400/x—50)=350．解这个方程，得x1=-30，x2=40． 经检验，x1=-30，x2=40都是所列方程的根，但进价为负数不合题意。所以只取x=40． 答：每盒茶叶的进价为40元． 32．(1)根据题意，当AP=DQ时，由AP∥DQ，∠A=90°，得四边形APQD为矩形，此时，4t=20—t，解得t=4(s)，∴ t为4 s时，四边形APQD为矩形； (2)当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切． 1​ 如果点P在AB上运动．只有当四边形AP≌为矩形时，PQ=4．由(1)，得t=4(s)． 2​ ②如果点P在BC上运动．此时，t≥5．则CQ≥5，PQ≥CQ≥5>4，∴⊙P与⊙Q外离． ③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧．可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，t-(4t-2 4)=4．解得t=20/3(s)． ④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧．当CP—cQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t-24-t=4．解得t=28/3(s)．∵ 点P从A开始沿折线A—B—C－D移动到D需要ll s，点Q从c开始沿CD边移动到D需要20s，而28/3<1 1， ∴当t为4 s，20/3 s，28/3 s时，⊙P与⊙Q外切． 33．(1)如果存在点P，使AP⊥PD，那∠∠APD=90°， ∴ ∠APB+∠CPD=90°，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠c=90°∴∠APB+∠BAP=90° ∴∠BAP=∠CPD，∴△APB∽△PDC，∴ AB/PC=BP/CD， 设BP=X，则PC=4-x ∴ 4/(4-x)=x/1 ∴ x1=x2=2，∴在线段BC上存在点P，使AP⊥PD，此时，BP=2； (2)如果在直线BC上存在点P，使AP⊥PD，那么点P在以AD为直径的圆上，且圆的半径为c/2,取AD的中点O，过点O作OF⊥BC，垂足为E ∵ ∠B=∠OEC=∠C=90° ∴AB∥OE∥DC ∵AO=DO ∴BE=CE． ∴ OE=(AB+DC)/2=(a+b)/2． ∴当OEc/2，即a+b>c时，以AD为直径的圆与直线BC相离．此时，在直线BC上不存在点P，使AP⊥PD. 综上，当a+b≤c时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．