函数的奇偶性

中鸿智业 2.4 函数的奇偶性 ●知识梳理 1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数. 2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）. （2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数. （5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. ●点击双基 1.下面四个结论中，正确命的个数是 ①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕. 答案：A 2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数. 答案：A 3.若偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是 A.f（cosα）＞f（cosβ） B.f（sinα）＞f（cosβ） C.f（sinα）＞f（sinβ） D.f（cosα）＞f（sinβ） 解析：∵偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角， ∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0. ∴f（sinα）＞f（cosβ）. 答案：B 4.已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b＝___________. 解析：定义域应关于原点对称， 故有a－1＝－2a，得a＝ . 又对于所给解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，应b＝0. 答案： 0 5.给定函数:①y= （x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+ ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________. 答案：①⑤ ② ③④ ●典例剖析 【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2） C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0） 剖析：由f（x－2）在［0，2］上单调递减， ∴f（x）在［－2，0］上单调递减. ∵y=f（x）是偶函数， ∴f（x）在［0，2］上单调递增. 又f（－1）=f（1），故应选A. 答案：A 【例2】 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|－|x－1|； （2）f（x）=（x－1）· ； （3）f（x）= ； （4）f（x）= 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断. 解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点. ∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由 ≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由 得 故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）= = ，这时有f（－x）= =－ =－f（x），故f（x）为奇函数. （4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数. 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明. （2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）. （1）求f（1）的值； （2）判断f（x）的奇偶性并证明； （3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围. （1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0. （2）证明：令x1=x2=－1，有f［（－1）×（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0. 令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）为偶函数. （3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3. ∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*） ∵f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组 或 或 或 ∴3＜x≤5或－ ≤x＜－ 或－ ＜x＜3. ∴x的取值范围为{x|－ ≤x＜－ 或－ ＜x＜3或3＜x≤5}. 评述：解答本题易出现如下思维障碍： （1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决:利用函数的单调性. （2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反. 深化拓展 已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）＞0的解集是（a2，b），g（x）＞0的解集是（ ， ）， ＞a2，那么f（x）·g（x）＞0的解集是 A.（ ， ） B.（－b，－a2） C.（a2， ）∪（－ ，－a2） D.（ ，b）∪（－b2，－a2） 提示：f（x）·g（x）＞0 或 ∴x∈（a2， ）∪（－ ，－a2）. 答案：C 【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f（x）=x+ +m（p≠0）是奇函数. （1）求m的值. （2）（理）当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值. （文）若p＞1，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值. 解：（1）∵f（x）是奇函数， ∴f（－x）=－f（x）. ∴－x－ +m=－x－ －m. ∴2m=0.∴m=0. （2）（理）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在［1，2］上为增函数.∴f（x）max= f（2）=2+ ，f（x）min=f（1）=1+p. （ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0， ］上是减函数，在［ ，+∞）上是增函数. ①当 ＜1，即0＜p＜1时，f（x）在［1，2］上为增函数， ∴f（x）max=f（2）=2+ ，f（x）min=f（1）=1+p. ②当 ∈［1，2］时，f（x）在［1，p］上是减函数.在［p，2］上是增函数. f（x）min=f（ ）=2 . f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+ }. 当1≤p≤2时，1+p≤2+ ，f（x）max=f（2）；当2＜p≤4时，1+p≥2+ ，f（x）max=f（1）. ③当 ＞2，即p＞4时，f（x）在［1，2］上为减函数，∴f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+ . （文）解答略. 评述：f（x）=x+ （p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法. 深化拓展 f（x）=x+ 的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？ ●闯关训练 夯实基础 1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式，其中成立的是 ①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b） ③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 解析：不妨取符合题意的函数f（x）=x及g（x）=|x|进行比较，或一般地g（x）= f（0）=0，f（a）＜f（b）＜0. 答案：D 2.（2003年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－1，0］上是减函数，那么f（x）在［2，3］上是 A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 解析：∵偶函数f（x）在［－1，0］上是减函数，∴f（x）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数. 答案：A 3.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lg ，那么当x∈（－1，0）时，f（x）的表达式是__________. 解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg =lg（1－x）. 答案：lg（1－x） 4.（2003年北京）函数f（x）=lg（1+x2），g（x）= h（x）=tan2x中，______________是偶函数. 解析：∵f（－x）=lg［1+（－x）2］=lg（1+x2）=f（x）， ∴f（x）为偶函数. 又∵1°当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1， ∴g（－x）=0. 又g（x）=0，∴g（－x）=g（x）. 2°当x＜－1时，－x＞1， ∴g（－x）=－（－x）+2=x+2. 又∵g（x）=x+2，∴g（－x）=g（x）. 3°当x＞1时， －x＜－1， ∴g（－x）=（－x）+2=－x+2. 又∵g（x）=－x+2，∴g（－x）=g（x）. 综上，对任意x∈R都有g（－x）=g（x）. ∴g（x）为偶函数. h（－x）=tan（－2x）=－tan2x=－h（x）， ∴h（x）为奇函数. 答案：f（x）、g（x） 5.若f（x）= 为奇函数，求实数a的值. 解：∵x∈R，∴要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（－x）=0，即a－ + a－ =0，得a=1. 6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1－m）＜g（m），求m的取值范围. 解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜ . 说明：也可以作出g（x）的示意图，结合图形进行分析. （文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为 A.（－3，0）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，+∞） C.（－3，0）∪（3，+∞） D.（－∞，－3）∪（0，3） 解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案：A 培养能力 7.已知f（x）＝x（ ＋ ）. （1）判断f（x）的奇偶性； （2）证明f（x）＞0. （1）解：f（x）＝x· ，其定义域为x≠0的实数.又f（－x）＝－x· ＝－x· ＝x· ＝f（x）， ∴f（x）为偶函数. （2）证明：由解析式易见，当x＞0时，有f（x）＞0. 又f（x）是偶函数，且当x＜0时－x＞0， ∴当x＜0时f（x）＝f（－x）＞0， 即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）＞0. 探究创新 8.设f（x）=log （ ）为奇函数，a为常数， （1）求a的值； （2）证明f（x）在（1，+∞）内单调递增； （3）若对于［3，4］上的每一个x的值，不等式f（x）＞（ ）x+m恒成立，求实数m的取值范围. （1）解：f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）. ∴log =－log = ＞0 1－a2x2=1－x2 a=±1.检验a=1（舍），∴a=－1. （2）证明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0. ∴0＜ ＜ 0＜1+ ＜1+ 0＜ ＜ log ＞log ，即f（x1）＞f（x2）.∴f（x）在（1，+∞）内单调递增. （3）解：f（x）－（ ）x＞m恒成立. 令g（x）=f（x）－（ ）x.只需g（x）min＞m，用定义可以证g（x）在［3，4］上是增函数，∴g（x）min=g（3）=－ .∴m＜－ 时原式恒成立. ●思悟小结 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值. 2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性. ●教师下载中心 教学点睛 1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系. 2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法. 3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质. 拓展题例 【例1】 已知函数f（x）= （a、b、c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值. 解：由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）. ∴c=0. 由f（1）=2，得a+1=2b. 由f（2）＜3，得 ＜3， 解得－1＜a＜2.又a∈Z， ∴a=0或a=1.若a=0，则b= ，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0. 【例2】 已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3. （1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数； （2）试证明：函数y=f（x）是奇函数； （3）试求函数y=f（x）在［m，n］（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域. 分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件. （2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f（0）=0后，再利用条件f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x1、x2的任意性，可使结论得证. （3）由（1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y=f（x）在［m、n］上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域. （1）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f［x1+（x2－x1）］， 于是由题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）. ∵x2＞x1，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0. ∴f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）＜f（x1）. 故函数y=f（x）是单调减函数. （2）证明：∵对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′）， ∴若令x=x′=0，则f（0）=f（0）+f（0）. ∴f（0）=0. 再令x′=－x，则可得f（0）=f（x）+f（－x）. ∵f（0）=0，∴f（－x）=－f（x）.故y=f（x）是奇函数. （3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数， ∴y=f（x）在［m，n］上也为单调减函数. ∴y=f（x）在［m，n］上的最大值为f（m），最小值为f（n）. ∴f（n）=f［1+（n－1）］=f（1）+f（n－1）=2f（1）+f（n－2）=…=nf（1）. 同理，f（m）=mf（1）. ∵f（3）=－3，∴f（3）=3f（1）=－3. ∴f（1）=－1.∴f（m）=－m，f（n）=－n. 因此，函数y=f（x）在［m，n］上的值域为［－n，－m］. 评述：（1）满足题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数. （2）若将题设条件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，则函数f（x）就是R上的单调增函数. （3）若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f（m）与f（n）的值，故m、n∈Z不可少.