等差数列-泰祺MBA-莫金承

1 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355 等差数列 一、 什么是等差数列 如果一个数列，从第 2项起，每一项与它的前一项之差是同一个常数，则称 该数列为等差数列，这个常数叫它的公差，记作 d 。 从定义可知，等差数列关注的是相邻两项的差。把它的前几项写出来看看规 律： 2 1 2 1a a d a a d      3 2 3 2 1 1 2a a d a a d a d d a d           4 3 4 3 2 1 3a a d a a d a d d a d          二、通项 由上述推导，可猜测其通项公式为  1 1na a n d   （1） 从上述公式可知，等差数列的核心是首项和公差，只要确定了这两项，即确 定了整个数列。因此，很多题目的求解，都化归成对这两个参数的求解。另外， 它的一个重要性质是，由任意两项在数列中所处的位置关系，即可确定它们的数 值关系，在等差数列中，位置决定一切。于是有：  n ma a n m d   （2） 该公式可以看成公式（1）的推广，令 1m  即可得到（1）。其证明比较简单， 只要利用公式（1），表示出来 ,n ma a 即可，请同学们自己尝试补上证明。公式（2） 可进一步变形为  n ma a n m d   或者 n m a a d n m    （3） 可见，由任意两项，即可求出公差 d 。而公式（3）的形式也非常像直线的 斜率，事实上由公式（1）容易发现，数列的各项必共线，而该线的斜率即为公 差 d 。这一事实为几何法解决数列问题提供了理论依据，当然 MBA考试中，几何 法解决数列问题，比解析法解决数列问题更简单的并不多见，这里不作重点 讨论了。 2 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355 三、 等差中项 如果 , ,a A b成等差数列，那么 A叫做 a和b的等差中项。这时必有 A a b A   ， 所以 2 , 2 a b A a b A     ，即 A是 a和b的算术平均数。 例 4.（1）已知数列 na 满足 1 2n na a   ，且 1 1a  ，求 na 解：由 1 2n na a   知 1 2n na a   ，所以 na 是公差为 2 的等差数列，所以其通 项    1 1 1 2 1 2 1na a n d n n        。 （2）在等差数列中，若 1 3, 21, 2na a d   ，求 n 分析：题目已知告诉我们，首项和公差，因此我们已经掌握了该等差数据的所有 要素，根据相关公式即可求解。 解：因为    1 1 3 2 1na a n d n      ，且 21na  ，所以  21 3 2 1 2 1n n     ，所以 10n  。 （3）在等差数列中，若 3 618, 27a a  ，求公差 d 。 分析：知道任意两项，也可以决定整个等差数列。因为等差数列的所有项是共线 的，且两点决定一条直线。关键是寻找合适的公式。 解：因为 6 3 3 27 18 9, 3a a d d       例 5.（1）若    lg2,lg 1 ,lg 3x x  成等差数列，求 x。 分析：将题意充分解读，然后翻译成数学语言。 解：因为    lg2,lg 1 ,lg 3x x  成等差数列，所以    2lg 1 lg2 lg 3x x    。从 而       2 lg 1 lg2 lg 3 lg2 3x x x      ，所以     2 1 2 3x x   。即 2 2 1,22 1 2 6 4 5 0 1,5x x x x x x           又由对数函数的定义域，知 1x   无意义，所以 5x  满足要求。 注意：1、对数函数的运算特点 lg lg lg , lg lg ka b ab k a a   2、注意函数的定义域，依此来消除解方程过程中的增根。 （2）（2006年 1月）若 6, ,a c成等差数列，且 2 236, ,a c 也成等差数列，则 c为（） 3 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355 A、-6 B、2 C、3或-2 D、-6或 2 E、以上结果都不对 分析：可以将题意翻译成数学语言，然后求解。 解：因为6, ,a c成等差数列，所以 6 2 c a   （中项公式），又因为 2 236, ,a c 也成 等差数列，所以 2 2 36 2 c a   ，所以  22 2 2 2 2 366 36 36 12 36 2 2 4 2 4 cc c c c c               2 2 2 2 1,236 12 2 36 3 12 36 0 4 12 0 6,2c c c c c c c c               另解：直接验证，验证 A，满足要求，再验证 B，也满足要求，所以选 D。可见 出题的人比较人道，他没有把 B、C交换，若交换 B、C位置的话，验证法要多花 点时间。这时就需要观察到 D的特点，有选择性地去验证。 四、 前 n项和公式 nS 1 2n nS a a a    （4）按顺序排列 2 1n nS a a a    （5）按逆顺排列 将（4）与（5）相加得：      1 2 1 12 n n n nS a a a a a a      易知，每个括弧里的和与  1 na a 相同，所以  12 n nS n a a  。由此得：  1 2 n n n a a S   （6） 注意：该公式类似于梯形面积公式。 将通项公式（1）代入公式（6），即得另一个变形：           1 1 11 1 1 2 1 1 2 2 2 2 n n n a a n d n a n dn a a n n d S na              1 1 2 n n n d S na    （7） 做题时，选择哪一组公式，要看题目给出的已知信息是什么。（6）只要知道首末 4 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355 项即可，而（7）只要知道首项和公差即可。如果注意到（7）中  1 2 n n  这一形 式，可能会联想到另一个著名的公式：  1 1 2 3 2 n n n               1 1 1 1 1 2 3 1 2 2 n n n n n            这样，我们可以得到另一个求和方法：       1 2 1 1 1 12 1n nS a a a a a d a d a n d              1 2 3 1na d d d n d         1 1 2 3 1na d n         1 1 2 n n d na    这个方法当然不如前面那个简单，但对于培养我们观察事物的能力还是有一 定作用的。这里我们仅仅注意一个形式，即展开联想，从而得到解决方法，这种 思想在数学中是极其有用的。 我们将   1 1 2 n n n d S na    重新整理，按 n降幂顺序排列，得到： 2 2 1 2 2 n d d S n a n An Bn          可见，它是二次函数的形式，且它有一个重要特点，即常数项为 0。而且 2n 的系数 2 d A  。假若一个数列的前 n项和是一个常数项不为 0的二次式，是该数 列一定不是等差数列，但从第二项开始一定是等差数列。 例 6.若四个数成等差数列，它们的和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求 此等差数列。 分析：等差数列只要首项和公差即可决定，即有两个要素。而题意中给出了两个 条件，因此两个未知数，两个方程，可以得到唯一解。 解：设这四个数分别为 3 , , , 3a d a d a d a d    （注意，这种情况，中间数有两 5 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355 个，所以设为 ,a d a d  。这样，无论求和还是求积，形式都非常简单。但要注 意，如此以来，公差是 2d，所以首项和末项分别是 3 , 3a d a d  ）。由题意知：        3 3 4 26a d a d a d a d a            2 2 40a d a d a d     联立，解方程组得： 13 3 , 2 2 a d   ，由此即可求出这个数列。 （2）在等差数列 na 中，若 1 50, 2, 0na d S    ，求 n。 分析：题目给出的信息涉及到 1, , na d S ，因此要找将与这三个变量有关的公式， 即 nS 的第二种表达形式：   1 1 2 n n n S na d    解：因为   1 1 2 n n n S na d    ，所在本题中       2 1 0 50 2 50 1 51 0,51 2 n n n n n n n n n              。显然 0n  不合题 意，故 51n  。 （3）在等差数列 na 中，若 5 2 914, 31a a a   ，求 5S 分析：因为  1 5 5 1 5 6 5 5 2 2 a a S a d        ，题目中有 5 14a  。因此，我们可以 尝试用另一个条件 2 9 31a a  解出 1a 。然而，事与愿违，一时之间找不到什么联 系。于是老老实实地联立方程组，确定有关参数。 解：由 5 5 114 4 14a a a d     ，由    2 9 1 1 18 2 9 31a a a d a d a d        ， 联立这两个方程可得 1a 与 d ，进而求解。 这是初学者最容易采取的思路，因为公式是这么写的，自然想到把所有的项 由首项和公差表示。然而，我们可以使用推广的通项公式，充分利用已知信息， 既然告诉我们 5 14a  ，为什么不可以把所有项用 5a 和公差来表示呢？ 另解：因为 5 14a  ，所以 6 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355    2 9 5 5 53 4 2 28 31 3a a a d a d a d d d            （8） 由 5 14, 3a d  ，易知 1 5 4 14 12 2a a d     ，所以  1 5 5 5 40 2 a a S     。这里 巧妙地把所有项用 5a 而不是用首项表示，达到了简化目的。 （4）在等差数列 na 中，若 11, 2, 35n na d S   ，求 1a 。 分析：容易想到  1 2 n n a a S n    ，因为该公式包含了所有大部分已知信息，关键 是包含了未知信息，似乎很容易求解，然而里面多了一个未知数 n，因此还必须 要知道首项，而正是要求的，于是直接求解。 解：    1 1 11 35 2 2 n n a a a S n n        ，    1 111 1 2 1 11na a n d a n        ， 所以 1 1 13 2 2 11 2 a n a n       ，将其代入 nS ，得    1 1 1 11 13 35 1,3 2 2 a a a        例 7.（2003年 10月）数列 na 的前 n项和 24 2nS n n   ，则它的通项 na （ ） A、3 2n B、4 1n C、8 2n D、8 1n E、以上都不对 分析：由前 n项和公式可求得通项公式。 解：当 2n  时，       221 4 2 4 1 1 2n n na S S n n n n                2 22 24 4 1 1 4 1 1 8 3n n n n n n n               所以选 E。 注意：如果本题有8 3n 这个选项，也不能盲目选它，一定要注意刚才的计 算是 2n  的情况。对首项，必须单独计算，即 1 1 3a S  ，它显然不满足8 3n 。 所以8 3n 这个选项也不正确。 另外，由 24 2nS n n   中 2n 系数为 4知，知 na 的公差一定是 8，从而排 除 A、B。然后对第 1项进行验证，可排除 C、D。速度大增。 如果注意到 24 2nS n n   的常数项非零，这说明原数列一定不是等差数列， 7 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355 而前四个选项都是等差数列，因此只能选 E。这是最快的做法。 第一种思路最循规蹈矩，最稳重，然而计算量稍大。后面的方法比较有技巧， 但需要扎实的基本功，基本功的锤炼本身就需要反复使用第一种思路，所以强烈 建议大家不要追求巧妙解法。打好基本功，用好发散思维和收敛思维，学会观察， 功到自然成。 （2）已知数列 na 的前 n项和 nS 是 n的二次函数，且它的前三项 1 2 32, 2, 6a a a    ，则 100a （ ） A、393 B、394 C、395 D、396 E、400 分析：将题意翻译成数学语言，设 2 nS an bn c   ，根据三个已知条件可求出系 数 , ,a b c，从而解决问题。 解：设 2 nS an bn c   ，由题意知 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2 (1) 4 2 0 (2) 9 3 6 (3) S a b c a S a b c a a S a b c a a a                      这是一个三元一次方程组，其解法同二元一次方程组。先利用某些方程的组 合，消去一个变量，将其变成一个二元一次方程组，然后求解。(2)-(1)得： 3 2a b  ，（3）-（2）得5 6a b  ，然后联立 3 2 2, 4 5 6 a b a b a b         ，将结果代入任一方程，即得 0c  ，所以 22 4nS n n  。 从而， 100 100 99 394a S S   。 这样求解肯定没有问题，但工作量太大，方程太多，稍不留神就会出差错， 前功尽弃。如果注意到数列的一个性质就简单得多：若数列 na 的前n项和 nS 是 n的二次函数，且其常数项不为 0，则 na 绝对不是等差数列，但从第二项开始 一定是等差数列。而数列的前三项是 1 2 32, 2, 6a a a    ，我们发现前三项已经 成等差数列了，所以整个数列一定是等差数列。于是 100 1 99a a d  ，而 2 1 4d a a   ，代入即得 100 394a  。 （3）（补充）（2）已知数列 na 的前 n项和 nS 是 n的二次函数，且它的前三项 8 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355 1 2 34, 7, 11a a a   ，则 100a （ ） A、393 B、394 C、395 D、399 E、400 分析：仍是利用上题提到的性质，不管 nS 的常数项是不是 0，从第二项开始一定 成等差数列，于是 2 3 4 1007, 11, , ,a a a a  一定是等差数列，而 100a 处于该数列的 第 99项， 2 7a  处于第 1项。于是  100 2 2 3 298 98 7 98 4 399a a d a a a         。 五、 等差数列的性质（重点） 1. na 为等差数列，若m n p q   ，则  *, , ,m n p qa a a a m n p q N    这个证明比较容易，利用通项公式，将所有项转化成首项和公差，即可，请 同学们补证。上式中，如果 p q ，便得到特例： 若 2m n p  ，则 2m n pa a a  。意即，若 , ,m p n是等差数列，则 , ,m p na a a 也 是等差数列。这个性质很好用，从一个等差数列中，按脚标成等差数列的方式抽 取的子列也是等差数列，是这一特殊性质的推广。 例：设 na 是公差为 d 的等差数列，则  2 7 12 17 2 5 1, , , , , ,na a a a a   也是等差数 列，因为它的脚标是  2,7,12,17, ,5 1 ,n 构成等差数列。且其公差是原公差 的 5倍，因为前两项脚标跨度为 5。 这个性质告诉我们，等差数列的问题，一定要看脚标的规律。 该公式可进一步推广。从等差数列中取出若干项分成两组，若每组项数相同， 且脚标和相等，则每组各项之和相等。如： 3 10 23 11 12 13a a a a a a     上式中，左右各有三项，且脚标和均为 36，所以等式成立。 3 10 23 17 19a a a a a    成立吗？ 虽然左右脚标和都是 36，但项数不同，所以未必成立。为什么会这样呢？我 们将所有项都表示为首项和公差一探究竟：      3 10 23 1 1 1 12 9 22 3 33a a a a d a d a d a d             17 19 1 1 116 18 2 34a a a d a d a d       9 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355 显然，我们无法保证 13 33a d 和 12 34a d 相等。 2.在等差数列中，当公差 0d  时，数列是递增的；当 0d  时，数列是递减 的；当 0d  时，数列是常数列。日后学等比数列的时候，仔细对比一下，等比 数列的单调性如何讨论。有精力的同学可以先考虑一下，什么情况下，等差数列 的和有最大值，什么情况下，等差数列的和有最小值，又会在哪个地方达到？ 3.等差数列 na 和 nb 的前 n项和分别为 nS 和 nT ，则有 2 1 2 1 k k k k a S b T    （重要）。 这是唯一的与两个等差数列有关的性质，只要题目中出现两个等差数列的关系， 要立即想到这个公式。 虽然 MBA考试不需要推导过程，我们仍可尝试推导一下，算是锻炼推导能力。 要证明这个等式，显然要找 ka 和 2 1kS  的关系。与前者有关的，容易想到的是通 项公式，别的不太好想。那就把精力放到 2 1kS  上，立即想到它的两种表达形式：    1 2 12 1 2 1 2 k k a a S k       或      2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 k k k S k a d        现在再观察 2 1kS  的两种形式，哪个与 ka 关系比较明显？利用发散思维，迅速 想一想所有的公式。想到“等差数列一定要考虑脚标和”这句话，思路就出来了。 事实上， 1 2 1 2k k k ka a a a a    ，所以      1 2 12 1 2 1 2 1 2 k k k a a S k a k          。 同理      1 2 12 1 2 1 2 1 2 k k k b b T k b k          ，命题得证。 例 8.等差数列 na 和 nb 的前 n项和分别为 nS 和 nT ，若 2 3 1 n n S n T n   ，则 7 7 a b （ ） A、-13/20 B、13/20 C、13/10 D、1/3 E、以上都不对 分析：与两个等差数列有关，容易想到用哪个公式。 解： 7 2 7 1 13 7 2 7 1 13 a S S b T T       ，又因为 2 3 1 n n S n T n   ，将 13n  代入即得结果，B。 例 9.在等差数列 na 中： （1） 若 2 3 10 11 48a a a a    ，求 6 7a a 和 12S 10 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355 分析：“等差数列一定要考虑脚标和”，已知信息中脚和为 13，要求的脚标和也 为 13。 解：因为        2 3 10 11 2 11 3 10 3 10 6 72 2 68a a a a a a a a a a a a            ，所 以 6 7 24a a  。同理， 1 12 24a a  ，所以  1 12 13 12 144 2 a a S     。 （2） 若 4 6 8 10 12 120a a a a a     ，求 9 102a a 。 分析：已知信息由五项构成，因此最中间一项成为平均值（可以理解为扩展的中 项公式），相当于告诉我们 8 120 24 5 a   。将欲求两项表示成 8a 即可。 解：易知 8 120 24 5 a   ，而    9 10 8 8 82 2 2 24a a a d a d a       。 另外，如果注意到 8 9 10, ,a a a 构成等差数列，则由中项公式可知 9 10 82a a a  ，所 以 9 10 82a a a  。 （3） 若 1 4 8 12 15 2a a a a a     ，求 15S 。 分析：虽然已知信息中有和有差，但我们仍是先观察脚标和，容易发现两端两项 脚标和为 16。而求前 15项和，与 16关系比较密切。 解：因为    1 4 8 12 15 1 15 4 12 8 8 8 8 82 2 2a a a a a a a a a a a a a a               所以 8 2a   。  1 15 8 15 2 15 15 30 2 2 a a a S        。 （4） 若 2 2 3 8 3 92 9, 0na a a a a    ，求 10S 。 分析：已知信息是完全平方和的形式，成为本题的关键。 解：     22 2 3 8 3 9 3 8 3 82 9, 3 0na a a a a a a a a             1 10 3 8 10 10 10 15 2 2 a a a a S         （5） 若 6 7 3 412, 10a a a a    ，求 12 6S S 。 分析：仍是观察脚标和，脚标和分别为 13，7，而所求和分别为 12和 6，关系非 常明显。 11 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355 解：        1 12 1 6 6 7 3 4 12 6 12 6 12 6 42 2 2 2 2 a a a a a a a a S S               。 例 10.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项之和与奇数项之和 的比是 32:27，求公差 d 。 分析：我们只需要把题意翻译出来，设前 12项中偶数项和为 S偶，奇数项和为 S奇。 由题意即可分别解出，然后利用这两项的关系，即可得出公差。 解：因为 354 : 32 : 27 S S S S     奇 偶 奇偶 ，所以将前 12项和分为 32+27=59份的话，S偶占了其 中的 32份，由此可得 32 27 354 , 354 59 59 S S   奇偶 ，所以    2 4 12 1 3 11 5 354 = 59 S S a a a a a a         奇偶      2 1 3 2 12 11 6a a a a a a d        所以 5 354 5 596 354 5 59 6 d d       。 例 11.在等差数列 na 中， 4 99, 6a a   ，则满足 54nS  的所有的 n的值为（） A、4或 9 B、4 C、9 D、3或 8 E、8 分析：由已知条件可以完全确定数列，因为等差数列共线，且两点决定一条直线， 所以任意两项，足可以确定整个数列。 解：因为 4 99, 6a a   ，所以 9 4 15 5 3a a d d       。又因为 4 1 13 18a a d a    。     2 1 1 3 1 3 39 54 18 2 2 2 2 n n n n n n S na d n n           ， 解方程即得结果，选 A。 附：等差数列与求和公式演示课件使用说明。 12 / 12 http://tqmba.blog.hexun.com http://hexun.com/tqmba 等差数列 泰祺 MBA 莫金承-QQ-1561296355