2005年 4月
第 21卷第2期
皖 西 学 院 学 报
Journal of West Anhui University
Apr.,2005
Vo1.21 N0.2
“单调 有界数列必收敛”的应用综述
蒋林智
(皖西学院 数理 系,安徽 六安 237012)
摘 要:此文对“单调有界数列必收敛”两个条件单调,有界的证明方法加以归纳,并就两个条件的关系及一类特殊情况加以
讨论,得出结论。
关键词:单调;有界
中图分类号:O151.22 文献标识码:A 文章编号:1009—9735(2005)02—0025—04
研究数列极限问
,通常分两部走。第一,考察所给数列是否有极限(极限的存在性问题);第二,若数列的
极限存在,则考察如何计算极限(极限值的计算问题)。这是讨论极限问题的两个基本方面。在实际应用中,第
一 个问题的解决是讨论极限问题的关键。
1 关于利用“单调有界定理”证明时,单调性与有界性证明的先后顺序问题
从判定定理内容叙述,即单调有界数列必收敛。我们通常会在应用定理的过程中,主观地认为应先证明数
列的单调性,再证明其有界性,其实不然,在证明过程中应根据问题的特征来决定证明的先后顺序,通常分为以
下三种情况 :
1.1 当有界性与单调性的证明不相关时 ,其证明不分先后顺序 ;
1.2 当有界性与单调性的证明相关时,即单独证明单调性比较困难,而利用有界性结论能顺利地确定其单调
性 :
1.3 当有界性与单调性的证明相关时,即单独证明有界性比较困难,而利用单调性结论能顺利确定其有界性。
具体事例如下:
(1)有界性与单调性的证明不相关时
证明:极限 Lim 存在并求值。
(2)有界性与单调性的证明相关时,即单调性的证明依赖于有界性
一 ,_———====
试证明数列 ,√2 ,√2√2 ,⋯⋯极限存在。
证明:al= ,。2= ,⋯,n =~厂 ,⋯显然n1<2,若n 一1<2则
an< 丽 =2,故 {口 }有上界。显然 口 >0,又因口2 =2a 一1,故
a 一a 一1>0(口2 ~a 一1a =2a 一1一an-1a = an-1(2~a )>0)
即 口2 一ana 一1>0,亦即 a 一a 一1>0( =2,3,⋯⋯){a }递增有上界。
(3)有界性与单调性的证明相关时,即有界性的证明依 赖于单调性
证明:数例xo>0,z +1: 萼÷ (。三三=0)极限存在并求出此极限。
" 1- a
证:如果极限存在,则 A :A_
,则 A : ;
11- 收稿日期 :2004—09—02
作者简介 :蒋林智(1977一),皖西学院数理系助教。
25
维普资讯 http://www.cqvip.com
设 5<口,并已证明 2 <口;N/z, >1,亦即 +1> 。
3C,= 十 口
我们可以得到, 2 +。= 3(筹 ) = ( )
设Z= 2 ,则 )=3·( ) ( )> ≠⋯>n>0)
于是 2 +1= ( )< (口)=。
因此 {X }单调有界
类似地可以证明:当 5>n时,数列单调递减并收敛于同一极限,
当 ;=n时,极限显然存在。
2 数列单调性证明方法的归纳总结
递增、递减数列统称为单调数列。应用单调数列中收敛定理,必须判断数列的单调性,数列 的单调性在级
数收敛、发散的判断中也常常用到。
数列的单调性的证明方法常用的主要有以下几种 :
1.1 不等式法
证明数列单调性时利用一些 已知不等式。在运用不等式法的过程中要熟练掌握一些常用不等式,不等式
与递推公式相结合得出自己的结论 。
2.2 差比法
在证明数列单调性时常可用差值法,即考察 n +1一n 的正负 ,从而得出数列是递增还是递减 ,而当确定
n +1一n 的正负比较 困难时 ,如果 n >0,我们考虑把 n +1一n 0(或 n +l—n 0)变成为 1(或
1)即用 比值法。在运用此法时注意思维的发散。
a ”
例、设口>0,{ }定义为 。>0, +1=吉( + )(口=1,2,⋯⋯)
求 Lira3C,
2.3 项差法
若已知数列 {3C, }有界,那么可以通过 3C, +2—3C, +1与 3C, +1—3C, 的符号的一致性即可说明 {3C, }的单调性。
至于 {3C, }究竟是单调增还是单调减是无关紧要的,这样做往往可以避免直接证明不等式 3C, + 3C, 或3C, +1
3C, 所带来的困难 ,通常有两种形式 :
(1)3C, +1—3C, = 厂(3C, )一厂(3C, 一1);
(2) +1一 = 厂( )一 。
例:设 1>0, +1= ( =1,2,⋯),求 L
一
im
解:显然 3C, +1<3利用数学归纳方法易证 3C, >0,故 0< 3C, < 3( =2,3,⋯)
一 '.
2
一 '.
2
OP{ ”}有界。又因为 ”+·一 ” 争 所以 ”+z— ”+· { 褊
而 2+3c, >0,故 3C, +2—3C, +1与 3C, +1—3C, 符号相同
因此 {3C, }为单调数列(下略)
2.4 函数 法
函数法适合于以下两种递推关系:
"+1 一 "
2 + 3C,"
(1)由一元可微函数给出3C, =厂(3C, 一1),当厂>0及3C,1<3C,2时,{3C, }数列单调递增;当厂 0时除3C,1
= 1,非单调(此种情况后面给予讨化)。
(2)厂( )=3C, 则可通过厂的导数的符号考察单调性,如果厂(3C,)可导(3C,为大于1的实数),当厂 0时,
数列 {3C, }单调增加;当厂 0时,数列 {3C, }单调减少。
例:设 口, 。> 0,并且 +l=! ( =0
,1,2,⋯)求 L
一
ira
3C, 十 口 一∞
26
维普资讯 http://www.cqvip.com
解:由于数列 {z }是 由复杂的递推关系定义的,要找出 z 与 的关系式是比较困难的,这里我们直接从
递推关系人手,为此考察相应的函数。
f(z)= z(z +3口)/(3x +口)(z三三三0)由于 f (z)=3(z 一口) /(3z +a2)三三三0
因此 f(z)是增函数,故 {z }为递增数列。
2.5 数学归纳法
对于命题 P(n),如果能够揭示出 P(k+1)于 P(k)之间关系,就可以考虑用数学归纳法加以证明
小结 :在证明数列单调性时,我们通常先考虑差 比法,再考虑项差法 ,最后考虑用不等式和数学归纳法 ,在
证明题时并不局限于某种方法 ,有时一题可以用上述几种方法来解答。
3 数列有界性的归纳总结
数列有界性是数列收敛的必要条件 ,无界数列必发散。故在利用“单调有界数列必收敛”的判定定理时 ,证
明数列有界是必不可少的一个方面。
如果数列递增,则证明其有上界;如果数列递减,则证明其有下界;如果只知数列单调,而不知其具体的增
减趋势,则必须证明其有上、下界。
证明有界性的方法通常有以下几种方法 :
3.1 利用单调性及数列极限的定义证明有界性
掌握数列极限的定义,在证明过程中借助于已知数列的极限,利用数列极限的定义及数列的增减性。
例:设 {口 }单调增加,{b }单调减少,且 Lira(口 一b )=0。
证明 Lira口 与 Lira b 存在
3.2 不等式法
在证明数列有界性时也常常用已知不等式(如均值不等式)来确定数列有界性。
例:设口。>0,口 +1= 1(口 +÷)证明:{口 }收敛(用均值不等式可解)。
3.3 数 列通项 变换 法
对数列通项通过裂项法 ,放缩法等一系列变换来证明有界性
3.4 数学归纳法
例:{z }由下列各式给出z = ,z =v厂 (T1=2,3⋯),证明数列 {z }极限存在
(4)数列本身不单调 ,但 {z2 },{z2 +1}分别单调有界的问题
在数列的收敛与发散中常常用于子数列的敛散性来讨论,也就是用部分数列的性质来讨论整体数列的性
质。数列收敛的充要条件是 {z: }与 {z: + }收敛到同一极限,在函数法判断数列增减性的第一种递握关系
中,即z( +1)=,(z ),当厂 0且z1≠1时非单调,通常分别考虑 {z2 }与{z2 +1}是否满足单调有界原理
条件,从而判断数列是否收敛:
一 ⋯ .
2
例:设0
2时 z = 1不稳定。
下面讨论 > 2的情况。
考察情况 z +2=g(22 +1)=g (22 ) (2)
其中g由(1)给定。方程(2)的平衡点除 Z =1以外还有 zf和 z 满足 z =zf eⅢ_Z-’,
= zf e ‘ 一 - (3)
由(3)不难得到 z 十zf=2 (4)
于是 Zf,z 是方程:
We ‘卜” =2一W (5)
的两个根。若记函数
h(W)= We (卜”’ (6)
则曲线 W=h(W)和直线 W=2一W 有三个交点,其横坐标是 zf,z 。
当a=11时, = lna=2.398,用数值方法可以算出
zf=0.3427,z = 1.6573 (7)
Z ,Z 是方程(2)的稳定平衡点的条件为
Ig ’(z)I。:z
.
·
,
I<1 (8)
经过较精密的计算得到,当2< <2.5265时,上述条件成立。
这个结果明 ,在条件(8)下方程(1)给出的数列 z 是二倍周期稳定的,即子列 f z2 },f z2 +1}当 k一 ∞
时 ,分别趋向于 zf,z
“单调有界数列必收敛”这一极限存在定理是判定极限存在最重要、便捷的方法之一。实质上我们可以看
到:递增有上界的数列,其极限是它的上确界,递减有下界有数列,其极限是它的下确界。
参考文献 :
[1]姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社.2001.
[2]翟连林 ,姚正安.数学分析方法论[M].北京 :北京农业大学出版社 .1997.
[3]林源渠,李正元.数学分析习题集[M].北京:北京大学数学系,1995.
[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1999
[5]陈文灯.2001年考研 (一)数 学习题集[M].北京 :知识产权出版社 ,2001.
[6]吴宝科 .2000年研究生入学考试[M].北京 :北京大学出版社 ,2000.
The Summary of the Application of
“M onotonous Boundary Numbered Lines Necessarily Converge”
Jiang Linzhi
(Department of Mathematics and Physics,West Anhui University Lu’口,2 Anhui 237012)
Abstract:The esSay is a summary concerning how tO demonstrate the two prerequisites monotone and bounds in “mono tonous and
boundary number line necessarily converge.”
Key words:monotonous;boundary
28
维普资讯 http://www.cqvip.com