§2_3 原函数与不定积分

原函数的概念 §2.3 原函数与不定积分 若 ，则称F(z)是f(z)的原函 数，其中 ，B是单连通区域。z BÎ ( ) ( )F z f z¢ = PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com 只与起点、终点有关，而与在B内 的积分路径无关，因此当起点固 定时，这样该积分就定义一个关 于终点z的单值函数，记作 结论 0 ( ) ( ) z z F z f dz z= ò 即F(z)是 f(z)的一个原函数，且F(z)在B上解析 。 z z0 B 设 f(z)是单连通区域B内的解析函 数，由Cauchy定理知：沿B内任一路径的 积分 ( ) l f z dzò PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com 两个原函数的差是一个常数。 说明 函数 f(z)的原函数的一般达式F(z)+C （其中C 是任意常数）被称为函数 f(z)的不定 积分，记作 CzFdzzf +=ò )()( 不定积分 PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com 结论 z2 z1 B 若函数 f(z)在单连通区域B内解析，而F(z) 是它的一个原函数，则有 )()()( 12 2 1 zFzFdzzf z z -=ò 其中 。1 2,z z BÎ PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com 例1：计算 2cos b a z z dz×ò 2cosz z× 2 1 sin 2 z解： 在复平面上解析，且 为它的一个原函数, Þ ( )2 2 21cos sin sin2 b a z z dz b a× = -ò 例2：计算 1 z dz zò Argzp p- £ < ( ) 1f z z =解：在区域B： 上， 解析， ln z ( )f z是 的一个原函数， \ 1 ln ln1 ln , z d z zx x = - =ò PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com 0 2Argz p£ < ( ) 1f z z =在区域B： 上， 解析， ln z ( )f z是 的一个原函数， \ 1 ln ln1 ln , z dz z z z = - =ò ( )z BÎ 例3：计算 ( ) n l I z a dz= -ò (n为整数) ( ) 0 ( )1 2 1 ( ) 1 0 ( 1) 2 l n l l adz i z a l a z a dz n i p p ì ì = íïï - îí ï - = ¹ -ïî ò ò   不包围 包围 结果 a 变形 l c PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com 例4:求积分 0 cos i z zdzò cos , sin co : s z z z z z+ 显然 在复平面内处处解析且其一个 原函数为 解 故 00 1 1 1 cos [ sin cos ] sin cos 1 1 2 2 1 i iz zdz z z z i i i e e e ei i e - - - = + = + - - + = + - = - ò PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com 例5：试沿区域 内的圆弧 计算 的值. Im( ) 0 Re( ) 0z z³ ³ 1=z dz z zi ò + + 1 1 )1ln( 2 ln( 1) , 1 1 [ln( 1)] 2 : z z z + + + 函数 在所设区域内解析它的一个原 函数为 解 2 23 ln 2ln 2 32 8 8 ip p= - - +2 21 [ln ( 1) ln 2] 2 i= + - 2 11 ln( 1) 1 ln ( 1) 1 2 i iz dz z z + = + +ò所以 PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com