二次函数零点式在解题中的妙用

《数理化解题研究12010年第2期 数学篇 23 江苏省泗洪中学 (223900) 陈 闯 ● 谈起二次函数的解析式，许多同学都能想到一般 式Y=似 + +c(。≠O)和顶点式 Y=a( —h) +k (口≠0)，却往往忽视了另外一种重要的形式——二 次函数的零点式 Y=口( — 1)( 一 2)(口≠0) (其中 ， 是二次函数图象与 轴的交点横坐标)． 在解决有关二次函数的问题中，若能对其灵活运 用，往往能够收到事半功倍的效果． 一 、确定二次函数的解析式 例1 已知二次函数的图象经过A(寺， )、 B(一1，3)、C(2，3)三点，求此函数的解析式． 解决此题的一般思路是设二次函数的一 般式，然后把三点坐标代入方程可得关于 。，b，c的三 元一次方程组，然后求出 口、6、c得出结论．这种方法 虽然正确，但是运算量大且容易出错．若注意到 B，C 两点的纵坐标相等，则使用二次函数的零点式，可以 快速解决问题． 解析 由B，C两点的纵坐标相等知 一1，2是方 程 )一3=0的两根．可设零点式为f( )一3= 口( +1)( 一2)(口≠0)，把A{寺，亍)代人得0=1． 从而厂( )= 一 +1． 评析 二次函数零点式的巧妙应用，体现了对已 知条件理解得透彻，观察得敏锐，从而解法简单． 二、确定系数范围 例2 已知二次函数 Y=似 + +c的图象与直 线 Y=25有交点，且不等式 蚍 + +c>0的解集是 { J一下1< <÷}，求口，b，c的范围． L 二 J J 分析 不 等式 似 + +c>0的解 集 是 { I一 1< < 1 价于二次函数Y=吡 +bx+c的 L 二 J J 图象与 轴交于(一号，0)，(÷，0)两点，可考虑将二 次函数设为零点式． 解析 由题设知 +bx+c=a )( 一÷)①，且。<0． · ． ’二次函数，，=Ⅱ( +丢)( 一÷)与直线，，=25 有交点’．．．方程。( +丢)( 一了1)=25,即似2+-g口-x 一 一 25=0有实根． ． · ． △ = 2 +她(詈+25)≥o．结合口0)，方 程 )一 =0的两根 1， 2满足0< l< 2<寺，当 ∈(0， 1)时，证明 <／．( )< 1． 分析 题设条件中蕴含一个重要的信息： ， 是方程 )一 =0的两根，故设 )一 =0( 一 ) ( — )，结合分析法，有如下证明． 证明 欲证 < )< ，只须证 0< )一 < t 一 ，丑 0<Ⅱ( 1一 )( 2一 )< 1一戈． ． · ． 0( 1一 )>0，只须证0< 2一 <÷． 上式由已知条件易得其成立，故命题得证． 评析 在这里巧妙借助二次函数的零点式为桥 梁，将题设与结论自然和谐地连接在一起，整个过程 简捷，令人赏心悦目．