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北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷 北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2011.1 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集 ，集合 ， ，那么集合 （A） （B） （C） （D） 2. 已知点 ，点 ，向量 ，若 ，则实数 的值为 （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 3.已知 中， ， ，则角 等于 （A） （B） （C） （D） 4．在极坐标系中，过点 并且与极轴垂直的直线方程是 （A） （B） （C） （D） 5. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间 内，则输入的实数 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 6.设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则下列式子中数值不能确定的是 （A） （B） （C） （D） 7．如图，四边形 中， ， ， .将四边形 沿 对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，则下列结论正确的是 （A） （B） （C） 与平面 所成的角为 （D）四面体 的体积为 8．对于函数① ，② ，③ ， 判断如下两个命题的真假： 命题甲： 在区间 上是增函数； 命题乙： 在区间 上恰有两个零点 ，且 . 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是 （A）① （B）② （C）①③ （D）①② 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 为虚数单位，则 ______. 10.在 的展开式中， 的系数为_____. 11. 若实数 满足条件 则 的最大值为_____. 12.如图所示，过圆 外一点 做一条直线与圆 交于 两点， ， 与圆 相切于 点.已知圆 的半径为 ， ,则 _____. 13．双曲线 的渐近线方程为_____； 若双曲线 的右顶点为 ，过 的直线 与双曲线 的两条渐近线交于 两点，且 ，则直线 的斜率为_____. 14.在平面直角坐标系中，定义 为两点 , 之间的“折线距离”. 则 坐标原点 与直线 上一点的“折线距离”的最小值是____； 圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值是____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知函数 . （Ⅰ）若点 在角 的终边上，求 的值； （Ⅱ）若 ，求 的值域. 16.（本小题满分13分） 如图，在三棱柱 中，侧面 ， 均为正方形，∠ ,点 是棱 的中点. （Ⅰ）求证： ⊥平面 ； （Ⅱ）求证： 平面 ； （Ⅲ）求二面角 的余弦值. 17.（本小题满分13分） 一个袋中装有 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 . （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率； （Ⅱ）若从袋中每次随机抽取 个球，有放回的抽取3次，求恰有 次抽到 号球的概率； （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取 个球，记球的最大编号为 ，求随机变量 的分布列. 18.（本小题满分13分） 已知椭圆 （ ）的右焦点为 ，离心率为 . （Ⅰ）若 ，求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆相交于 ， 两点， 分别为线段 的中点. 若坐标原点 在以 为直径的圆上，且 ，求 的取值范围. 19.（本小题满分14分） 已知函数 . (Ⅰ)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值； (Ⅱ)求 的单调区间； (Ⅲ)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围. 20.（本小题满分14分） 已知数列 ， 满足 ，其中 . （Ⅰ）若 ，求数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ，且 . （ⅰ）记 ，求证：数列 为等差数列； （ⅱ）若数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项 应满足的条件. 北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末 高三数学及评分标准 （理科） 2011.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C B D B D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10. 11. 12. 13. ， 14. ， 注：13、14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.） 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为点 在角 的终边上， 所以 ， ， ………………2分 所以 ………………4分 . ………………5分 （Ⅱ） ………………6分 ， ………………8分 因为 ，所以 ， ………………10分 所以 ， ………………11分 所以 的值域是 . ………………13分 16.（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：因为侧面 ， 均为正方形， 所以 , 所以 平面 ，三棱柱 是直三棱柱. 　　　………………1分 因为 平面 ，所以 ，　　　　　　　　　 ………………2分 又因为 ， 为 中点， 所以 . ……………3分 因为 , 所以 平面 . ……………4分 （Ⅱ）证明：连结 ，交 于点 ，连结 ， 因为 为正方形，所以 为 中点， 又 为 中点，所以 为 中位线， 所以 ， ………………6分 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . ………………8分 (Ⅲ)解： 因为侧面 ， 均为正方形， ， 所以 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系 . 设 ，则 . ， ………………9分 设平面 的法向量为 ，则有 ， ， ， 取 ，得 . ………………10分 又因为 平面 ，所以平面 的法向量为 ，………11分 ， ………………12分 因为二面角 是钝角， 所以，二面角 的余弦值为 . ………………13分 17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为 ，则两次取球的编号的一切可能结果 有 种， ………………2分 其中和为 的结果有 ，共 种， 则所求概率为 . ………………4分 （Ⅱ）每次从袋中随机抽取 个球,抽到编号为 的球的概率 . ………………6分 所以， 次抽取中，恰有 次抽到6号球的概率为 . ………………8分 （Ⅲ）随机变量 所有可能的取值为 . ………………9分 ， ， ， . ………………12分 所以，随机变量 的分布列为: ………………13分 18、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得 ，得 . ………………2分 结合 ，解得 ， . ………………3分 所以，椭圆的方程为 . ………………4分 （Ⅱ）由 得 . 设 . 所以 ， ………………6分 依题意， ， 易知，四边形 为平行四边形， 所以 ， ………………7分 因为 ， ， 所以 . ………………8分 即 ， ………………9分 将其整理为 . ………………10分 因为 ，所以 ， . ………………11分 所以 ，即 . ………………13分 19.（本小题满分14分） 解： . ………………2分 （Ⅰ） ，解得 . ………………3分 （Ⅱ） . ………………5分 ①当 时， ， ， 在区间 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . ………………6分 ②当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . …………7分 ③当 时， ， 故 的单调递增区间是 . ………8分 ④当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . ………9分 （Ⅲ）由已知，在 上有 . ………………10分 由已知， ，由（Ⅱ）可知， ①当 时， 在 上单调递增， 故 ， 所以， ，解得 ，故 . ……………11分 ②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 . 由 可知 ， ， ， 所以， ， ， ………………13分 综上所述， . ………………14分 20.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当 时，有 …………2分 . ………………3分 又因为 也满足上式，所以数列 的通项为 .………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的 有 ， ………………5分 所以 ， 所以数列 为等差数列. ………………7分 （ⅱ）设 ，（其中 为常数且 ），所以 所以数列 均为以7为公差的等差数列. ………………9分 设 ， （其中 ， 为 中的一个常数）， 当 时，对任意的 有 ； ………………10分 当 时， ………………11分 ①若 ，则对任意的 有 ，所以数列 为单调减数列； ②若 ，则对任意的 有 ，所以数列 为单调增数列； ………………12分 综上：设集合 ， 当 时，数列 中必有某数重复出现无数次. 当 时， 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分