学习初等数论的几个问题

© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 年第 期 高等授学报 自然科学版 学习初等数论的几个问题 彭敦刚 严启平 湖北大学数学与计算机学院 初等数论是研究数的性质的 , 与算术有 着极密切的关系 , 也可 以说是算术的继续 。 因 而学好初等数论对提高中学数学教师的素质 和 中学数学教学质量有着重要的意义 。 但是 在学 习这 门课程过程 中会遇到不少困难 , 常 常集 中现在对基本概念和基本理论的理解 及运用上 。 本文就这些问题谈一些粗浅的看 法 。 要正确理解 、 掌握基本概念 数学知识中最普遍 的形式是概念 、所 以 说概念的学习是数学学习的核心 。 实践表明 , 在解决数学 问题时之 所 以 产生 困难甚 至 错 误 , 这是 由于对概念学习 的重要性认识不够 造成的 。 如“ 设 , 是两个任意整数 , 且 二 , 若存在整数 , 使 “ 砂 成立 , 则称 能整 除 , 或称 能被 整除 , 记作 川‘ 。 ”整除这 一概念的叙述是明确的 , 但是 , 学习时有两个 问题容易忽略 一是把 羊 。这一 条件丢掉 , 一是把数学 中的整除符号 “ ”写成斜分式线 ,’” , 这都属知识性错误 , 究其原 因就是对整 除概念没有真正理解 。 对一个概念的学习 , 不 仅要弄清其本身的含义 , 还应搞清楚它对其 后续知识学习的影响和作用是什么 , 这才能 算是真正掌握了这一概念 。 要有厚实的基础 , 必须掌握基本理论 学习初等数论最头痛的是概念多 、 定理 多 , 理论性很强 , 不知从何人手 。 仅就教材 第一章来说大小定理近 个 , 但在这众多定 理 中一定要抓住起主导作用的定理 。 带余数 除法定理就是这一章 中很重要 的一个定理 , 整除性 中很多性质都是以此定理为依据完成 其证明的 。 又如 , 同余概念的产生 , 使我们对 数的性质认识更深二层 , 讨论数的性质不再 局 限于对个别整数而扩大到对全体整数 , 这 样就大大地丰富了数 的内涵 , 同余理论也 因 此产生 。 虽然在学习时遇到概念多 、 定理多这 一困难 , 只要我们分清主次 , 并从 中寻找出其 规律 , 一定能学好 , 从中体会到奥妙之所在 。 要独立解题 、 善于归纳 华罗庚教授在介绍前苏联维诺格夫陀夫 院士所著‘ · 数论基础 ”一书时写道 “ 如果读这 本书而 不看不做 出书后 的问题 , 就好像人宝 山而空返 , ⋯ ”如何做到人宝山而不空返 首 先是要理解 、 掌握基本概念和基本理论 , 使 自 己 具有厚实的基础 其次是适 当地独立地做 一定数量的习题 , 在做习题时一定要规范 , 注 意 科学性 、 严密性 , 这样才能“ 温故而知新 ” 再次在解题过程中要学会归纳 、 其基本 规律和方法 。 初等数论的习题大致可 以分为两类 一 类是计算 包括方程 题 , 另一类是论证题 。 下 面谈谈如何处理这两类习题 。 士 计算题 这一类 习题难度不大 , 只要应 用 已经学 习过 了的基本概念 如整除性 , 同 余 , 平方剩余 , 勒朗得符号 ⋯ 、 基本方法 如 带余数除法 , 辗转相除法 , 减小系数法 , ⋯ 和 基本定理 如孙子定理 , 互倒定律 , ⋯ , 是容 易解决的 。 例 求 二 十 的一切整数 解 。 收稿 日期 一 一 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 年第 期 高等函授学报 自然科学版 解法 因为 , , 故 原方程有解 , 并且与方程 〕· 笼 同解 。 又 由 , 得 二 夕一 二 用观察法得方程的一组解 二 。一 一 一 。 由 此可以得到原方程的一组解 ‘ , 少‘ 。 义 一 一 故原方程的一切整数解是 了一 、 尸。一 一 一 , 一了。十 。 , 一 , 为任意整数 解 法 在解法 的 式 中 , 用最小 系数 除 , 得到 一 一万丁一 因 为 二 , 是 整 数 , 一 淤 故竿 亦 是 整 数 。 令 一 一丽丁 ’“ 即有 为整数 , 干 、 一 , 。 〕 一 因此得原方程的一组解为 ‘ 。 义 , 夕‘ 。一 一 一 故原方程的一切整数解为 二 一 一 , 一 , 为任意整数 上述第 种方法 , 减小 系数法是 中学教学 常采用 的方法 , 其理论依据是整除 性 , 中学生容易接受 。 、 两种解法涉及到的 知识面要广一些 , 中学生不容易接受 。 在未知 量系数和常数项都很大而未知量系数又互质 时 , 采用解法 是有效的 。 此法是解不定方程 二元一次不定方程 的一般方法 。 在解题过 程 中 , 教师不仅要引导学生熟练掌握这三种 方法 , 而且要帮助学生将这三种方法与观察 方法结合起来使用 , 这样解题就更为简捷 。 例 解方程 三 。 解法 因 , 一 , 所 以此 同余 方程有解 , 且有 个解用观察法解 十 二 类似地 , 得到 二 一 ‘ 一 ‘ 。 一 “ 十 — 寻 一 一 一 三三三 一几一 三三 一二 丁一 三三 一二万一 三三 又 勺 。 诬 匕 人 一 、 , 士‘ 。。 又令兰份竺 , , 为整 数 , 即 ‘ ,一 ’ 一 “ 一 一 , 一 , 显然 “ , 一 一 。 于是 求得原方程的一 组解 二。 一 , 。一 。 故原方程的一切整数解为 一 一 , 夕 , 为任意整数 解 法 由解法 的 关 式 开始 , 用 辗 转相除法和 公式 二 一 一 ”一 ‘ , , 一 一 ” , , 其 中 。 , , , 叮” ,一 , , 一 尸。 , 尸 , 一 , , 尸 。 一 。 。 一 , 尸二 , 求得 方程的解 。 因为 故所求方程的三个解为 , 三 , 一 万 , 三三 乙 , · 些三 一 三 , , ‘ 所以 了 。 一 ’ 一 、 , 一卜 。 比一 , 一 、一 一 户 本 解法 从解法 的 、 式 中可知 , , 故存在两个整数 , , 使 由观察法可知 · 一 · 一 , 这里 , 一 , , 而 · 一 二 , 所 以 二兰 一 · 一 二 二 故同余方程的解为 三 , , 分析 在实际求一元一次同余方程解的 过程 中 , 一般不用定理所给出的公式 , 因为用 公式求解 比较麻烦 , 常用解法 。 此解法是把 、 , 。 、 , 、 一 玛 余 万 侄 “ 了 十 乃三 以 ’川 与 成 了 三丁 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 年第 期 高等函授学报 自然科学版 的形式 , 然后利用与 互质的整数 陆续乘右端的分子和分母 , 使分母绝对值变 小 直至变成为 时为止 。 解法 是运 用教 材 第一章 定理 。 在模 , 很大时 , 使 用这种解法较好 。 例 解方程 尹 尸 二 三 。 解 因 一 , 所以用 , 士 , 士 代 人一一验算得 冲 十 十 了 十 三 的解是 二一 , 一 了 了 十 三 的解是 二 一 , 一 , 于是 , 用孙 子定理解方程组 万’三兮 ‘ 呼 火 夕 得解 为 二二 , 占 , 这里 ‘ 一 , , 一 , 一 , , 。 因此 , 所求得的解 共计 个 , 即 , 二一 , 一 , 一 , 一 , 一 , 一 , , , , , , 。 分析 高次同余方程求解较一次同余方 程 组 求解要复杂 。 需分质数模高次同余方 程 、 合数模高次 同余方程和 质数幂模 高次 同 余方程三种情况 。 第一种情况求解是 比较简 单的 , 只需 用 的完全剩余 系 。, 士 , ⋯ , 士 , 、 一 , , 二 ‘ , , , 、 二 一 一 , 一 , 告 一 中的各数代人 一一验算即可求得、 厂 一 ” ”斌 同 ’ 、 ‘ “ 一 一 刁 一 、 ’, 其解 第二种情况求解就不那么简单 了 , 不仅 需用到最基本的代人验算的方法 , 还需用到 孙子定理才能完成方程的求解 第三种情况 看似复杂 , 实际上 只要严格遵循 教材 尸 的步骤 , 是不难求解的 。 限于篇幅 , 这里不一一举例 , 要求学员 自 己归纳总结 。 论证题 初等数论的论证题主要是讨 论整数的整除性和 整数解 , 证 明方法 主要是 采 用 直接证法 、 间接证法 反证法 、 数学 归 纳法等 。 现分述如下 。 直接证 法 所谓直接证法就是从 已 知条件人手 , 根据 已学过的知识推出所要证 明的结果 。 例 证 明 , 这里 是任意整数 。 证法 根据题意 , 可写成 , 这里 , , 刃 为整数 。 当 , · 时 , 】 当 时 , 叮 , 即 , 故 , 即 , , 当 时 , , , , 故 一 叮 , 即 十 。 所以 ’ , 十 , 这里 是任意 整数 。 证法 依题意 , 整理得 ” , , 〔 一 〕 丈 一 , ” 任何三个连续整数乘积必定是 的倍数 , 故 , 之一 , , , 所以 十 。 证法 因 , , , , 为三个连 续整数 , 故乘积 ” 是 的倍 数 。 即 , , , , 又 , , 所以 , , 。 例 证明二元一次不定方程 二 勺, , 且 , , , 当 一 一 时 , 有非负整数解 。 证明 设原不定方程的一般解为 一了。一 , 少一夕。 其中 一 。 , 。 是原不定方程的一组特解 , 为任 意整数 。 取 。 使 。一 设 。一 。十 , 且 。簇 , 当 一 一 时 , 下面对 于 。 证明对应的 值为非负的 。 由 二。 。 , 且 镇 得到 。一 。 一司一 , 故 气黔 。 因此 。 。 。 “ 了。一 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 年第 期 高等函授学报 自然科学版 一去、 。 、一。一 。 , 十 。 一去 一 。 , 。 告 “ 。一 , 一 , 。 一 , 故为整数 。 一 , , , 朋 一 汁 二万 , 一十 几万 一乙 乙 巴丝卫土卫二里土卫一 一 即 。斗 一 。 , 故原不定方程有非负整 数解 一 。一 。 , 。 以。 。 分析 例 的证法 和例 的证明是从 整数 、 不定方程解的形式出发 , 利用带余数除 法和不等式的变形完成的 。 这种证明紧扣基 础知识 , 使所学到的知识直接得到运用 。 例 证 明 若 十 被 整除 , 则 矿 护十 。‘ 也能被 整除 。 证法 因为 “ 十‘ , 一 一 十 一 十 一 一 十 一 一 十 而 一 , 一 , 。一 ‘ 、 十 都是三个连续整数 的乘积 故能被 和 的整除 , 从而能被 整除 , 又 “ 十 十 〔 、 , 故 ’ 。 证法 由 十 十 被 整除可 以得到 牛 三 即 。三一 , 将此式代人 “ “ 召 护 三 十护一 三一 弓一 , 若 。 , 同为偶数 , 则 十 若 “ , 同为奇数 , 则 “ 十八为偶数 , 有 “ “ 十 ’ 若 , 为一偶一奇 , 显然 , 。 因而 一 十 , 故 十 。 。 一 , , 一 越 — 十 — 一乙 乙 , , , , , 十 一 , 一 — 一卜 — 一 州 乙 乙 乙 一 “ 例 证 明当 任人了 时 , , 是整数 , 并用 除时余 。 证明 因为 , ‘ 不丁矛 一十 二了 刀 乙 乙 工 , , 一 艺 星些上旦些上些一 , , , , 丰 , , 一匕 又 , , , , , 一 二 是两 个连续整数 能整除 , , 气, , 故用 除时余 。 分析 例 的证法 、 和 例 、 例 的 证法 , 虽然是从整数出发 , 但是需要通过恒等 变形才能从 中发现证题的途径有一定的技巧 性 。 因而除了掌握像例 、 例 那样的常规证 题方法外 , 还需不断地探讨新的证题方法 , 提 高证题能力 。 间接证法 每一个命题都有 种变 化形式 , 而原命题同它的逆否命题是等价的 。 根据这一关系 , 在原命题无法证明或不易证 明时 , 可 以证明它的逆否命题 。 逆否命题的假 设是原命题 的结论的反面 , 逆否命题的结论 是原命题的假设的反面 , 所 以这种证法实际 就是证明原命题的结论的反面为真 。 例 设 是任一大于 的整数 , 则 除 以外的最小正 因数 是一质数 。 证明 假定 不是质数 , 由定 义可知 , 除 及本身外还有一个正因数 , 且 一 , 而 , 既然 , 是 的一个正因数 , 当然也有 , , 这与 是除 王以外的最小正因数矛盾 。 故 是质数 。 例 为可使 三 。 的最小正 整数 , 若有 ”三 , 则 。 证明 假设 朴, , 则 , 且 于是 由已知有 丫三 而 三 丫 , 二 二 从 ·这是不可能的 。 故 引 。 归 纳 法 归纳法有完全归纳法和 不 完全归纳法 或称 下 转 肠 页 了 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 年第 期 高等函授学报 自然科学版 执行通信程序前 , 双方必须设置相 同的数据 格式和相同的速率 。 双方可键人 外部命 令 , , , 然后执行下列通信程序进行双机通信 。 源程序 清单 入 乞 读状态 日 里 , 丁 气 , 接收到 一个有效字符否 八 否 转 发送 · 接 收字符 , 〔 , 否 , 转 是 , 终止通信 发送级冲器空否 不空 , 转接收 读键盘状态 , 无 键入 字符 转通 信 检 测 有键 人字符 , 则读取它 汇。 、 气 , 正飞 , 几 , 调 显示模块 是换行符吗 否 转 是 回车换行 、, 将键人字符送人串 日 串 日 发送字符 入 继续检渊 参 考 文 献 高传善等 , 接 口 与通信 复 旦大学出版社 , 。 。 张昆藏 。 微型计算机接 口 技术 , 清华大学 出版社 。 王士元等 。 接 口 技术及其应用 , 南开大学出版社 , 准 。 是终止符 一 吗 上接 页 经验归纳法 , 这里所使用的 归纳法是完全归纳法 。 完全归纳法亦称“ 完全 归纳推理 ” , 这是根据某类事物中每 一事物都 具有某种性质 , 推 出该类中全部事物都具 有该性质 的归纳推理方法 。 例 若 。 是任一 奇数 , 则 矿 ”二 ” ‘ 证 明 当 时 , 设 十 , 则 一 又 。 故 “一 假定 · ” ‘ 一 , 则 “ 甲‘一 ’ “一 ‘ ‘ 一 “” 由 ” “ 一 , ‘ 份一 因 为奇数 , 则 “‘ 为偶数 , 所以 , ,一 “ 。“’十 ’一 , 即 广 , 三 · ‘ 。 故 之 二 · “ 例 对于任意的非负整数 , , 求形式 为 · 一于 ,’ ’ ’的一切数的最大公因子 。 解 当 时 , ”十 十 , · ‘ 假设 , , 时 , 杏 “ 一 于 奋 ’ 当 , , 一 斗 一 时 , ‘奋 ’ ” “ ”击 ’ 一 杆 · 十 , , 一 ‘ · 了‘十 “ ’‘“ 一 一 之 ’ 圣 一 · 斗一 一 之 · 去 一 · 声 ’ · 冷 艺 叮一 叉 · 备斗 斗 一 · 去 · 汤冲一 一 仁 ‘一 ’十 ‘ ‘ 十 · ‘ , 〕 , 任 散形式为 尹 ’一卜 。十‘的一切数的最大因数是 。 参 考 文 献 彭软刚 , 严启平编 。 初等数论 , 华中师范大学出版 社 , 。