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nullnull 第五节 函数的幂级数展开式的应用 幂级数有许多应用,上段我们已经用它示了比较复杂的函数,这里再来看它在近似计算上的应用.null例11 计算sin100的近似值,精确到10-4.在sinx的展开式(6)中,令x=0.174533,并取前面三项,估计误差解: 先把自变量化为弧度制.null的近似值,精确到10-4在二项式级数中令x=2/35∈(-1,1)并取二项计算,由于这时例12 求nullnull例13 计算ln2的近似值,要求误差不超过0.0001如果取这级数的前n项的和作为ln2的近似值,其误差为解:null 为了保证误差不超过10-4,就需要取级数的前10000项进行计算.这样做的计算量太大,我们必须用收敛快的级数来代替它.为了加快收敛的速度,我们要注意两点: (1)通过适当的变量代换时要保证x∈I,(I为原级数的收敛域). (2)在f(x)的幂级数∑anxn中使|x|越小越好.现在我们采用变形的方法,使|x|变小nullnullnullnull 利用幂级数不仅可计算一些函数值的近似值,而且可计的近似值,精确到10-4例14 求算一些定积分的近似值.nullnull的近似值,要求误差不超过0.0001例15 计算积分nullnull二. 欧拉公式 设有复数项级数为 (u1+iv1)+(u2+iv2)+…+(un+ivn)+…. (1)其中un, vn (n=1,2,3….)为实常数或实函数.如果实部所成的级数 u1+u2+u3+…+un+… (2) 收敛于和u,并且虚部所成的级数 v1+v2+v3+…+vn+…. (3) 收敛于和v.就说级数(1)收敛,且其和为u+iv.null收敛,则称级数(1)绝对收敛.如果级数(1)绝对收敛,由于那么级数(2),(3)绝对收敛,从而级数(1)收敛.如果级数(1)各项的模所构成的级数考察复数项级数null可以证明级数(5)在整个复平面上是绝对收敛的.在x轴ez,于是ez 定义为当x=0时,z为纯虚数iy,(6)式成为上(z=x)它表示指数函数ex,在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数,记作null 把y换成x,上式变为 eix=cosx+isinx (7)其中ρ=|z|是z的模,θ=arg z 是z的辐角θρx 这就是欧拉公式应用公式(7),复数z可以表示为指数形式:null在(7)式中把x换成-x,又有即eix=cosx+isinx e -ix=cosx-isinx两式相减,得到 这两个式子也叫做欧拉公式.(7)式和(9)式揭示三角函e -ix=cosx-isinx数与复变指数函数之间的一种联系.null 根据定义式(6),并利用幂级数的乘法,我们可以得到null特殊地,当z1=x(实数),z2=iy(纯虚数),则有复变量指数函数ez在z=x+iy处的值是模为ex,辐角为y的复数.