《数理化解题研究12010年第2期 数学篇 23
江苏省泗洪中学 (223900) 陈 闯 ●
谈起二次函数的解析式,许多同学都能想到一般
式Y=似 + +c(。≠O)和顶点式 Y=a( —h) +k
(口≠0),却往往忽视了另外一种重要的形式——二
次函数的零点式
Y=口( — 1)( 一 2)(口≠0)
(其中 , 是二次函数图象与 轴的交点横坐标).
在解决有关二次函数的问题中,若能对其灵活运
用,往往能够收到事半功倍的效果.
一
、确定二次函数的解析式
例1 已知二次函数的图象经过A(寺, )、
B(一1,3)、C(2,3)三点,求此函数的解析式.
分析 解决此题的一般思路是设二次函数的一
般式,然后把三点坐标代入方程可得关于 。,b,c的三
元一次方程组,然后求出 口、6、c得出结论.这种方法
虽然正确,但是运算量大且容易出错.若注意到 B,C
两点的纵坐标相等,则使用二次函数的零点式,可以
快速解决问题.
解析 由B,C两点的纵坐标相等知 一1,2是方
程 )一3=0的两根.可设零点式为f( )一3=
口( +1)( 一2)(口≠0),把A{寺,亍)代人得0=1.
从而厂( )= 一 +1.
评析 二次函数零点式的巧妙应用,体现了对已
知条件理解得透彻,观察得敏锐,从而解法简单.
二、确定系数范围
例2 已知二次函数 Y=似 + +c的图象与直
线 Y=25有交点,且不等式 蚍 + +c>0的解集是
{ J一下1< <÷},求口,b,c的范围.
L 二 J J
分析 不 等式 似 + +c>0的解 集 是
{ I一 1< < 1 价于二次函数Y=吡 +bx+c的
L 二 J J
图象与 轴交于(一号,0),(÷,0)两点,可考虑将二
次函数设为零点式.
解析 由题设知
+bx+c=a )( 一÷)①,且。<0.
·
.
’二次函数,,=Ⅱ( +丢)( 一÷)与直线,,=25
有交点’...方程。( +丢)( 一了1)=25,即似2+-g口-x
一 一 25=0有实根.
.
·
. △ =
2
+她(詈+25)≥o.结合口
证明不等式
例 3 设二次函数,( )= + +c(口>0),方
程 )一 =0的两根 1, 2满足0< l< 2<寺,当
∈(0, 1)时,证明 </.( )< 1.
分析 题设条件中蕴含一个重要的信息: ,
是方程 )一 =0的两根,故设 )一 =0( 一 )
( — ),结合分析法,有如下证明.
证明 欲证 < )< ,只须证 0< )一 <
t 一 ,丑 0<Ⅱ( 1一 )( 2一 )< 1一戈.
.
·
. 0( 1一 )>0,只须证0< 2一 <÷.
上式由已知条件易得其成立,故命题得证.
评析 在这里巧妙借助二次函数的零点式为桥
梁,将题设与结论自然和谐地连接在一起,整个过程
简捷,令人赏心悦目.