实验指导书2 一元函数积分学及空间图形的画法

实验五 矩阵运算与方程组求解 项目二 一元函数积分学与空间图形的画法 实验1 一元函数积分(基础实验) 实验目的 掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解 定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用 定积分解决各种问题的能力. 基本命令 1.计算不定积分与定积分的命令Integrate 求不定积分时, 其基本格式为 Integrate[f[x],x] 如输入 Integrate[x^2+a,x] 则输出 其中a是常数. 注意积分常数C被省略. 求定积分时, 其基本格式为 Integrate[f[x],{x,a,b}] 其中a是积分下限, b是积分上限. 如输入 Integrate[Sin[x],{x,0,Pi/2}] 则输出 1 注:Mathematica有很多的命令可以用相应的运算符号来代替. 例如,命令Integrate可用积分号 代替, 命令Sum可以用连加号 代替, 命令Product可用连乘号 代替. 因此只要调出这些运 算符号, 就可以代替通过键盘输入命令. 调用这些命令,只要打开左上角的File菜单,点击Palettes 中的BasicCalculations, 再点击Calculus就可以得到不定积分号、定积分号、求和号、求偏导数 号等等. 为了行文方便, 下面仍然使用键盘输入命令, 但读者也可以尝试用这些数学符号直接计算. 2.数值积分命令NIntegrate 用于求定积分的近似值. 其基本格式为 NIntegrate[f[x],{x,a,b}] 如输入 NIntegrate[Sin[x^2],{x,0,1}] 则输出 0.310268 3.循环语句For 循环语句的基本形式是 For[循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象] 运行此命令时, 将多次对后面的对象进行运算, 直到循环变量不满足测试条件时为止. 这里必须 用三个逗号分开这四个部分. 如果运算对象由多个命令组成, 命令之间用分号隔开. 例如, 输入 t=0; For[j=1,j<=10,j++,t=t+j]; t 则循环变量j从取值1开始, 到10结束. 每次增加1. 执行结果, 输出变量t的最终值1+2+… +10=55. 注:For语句中的 j++ 实际示j=j+1. 实验内容 用定义计算定积分 当 在 上连续时, 有 因此可将 与 作为 的近似值. 为了下面计算的方便, 在例1.1中定义这两个近似值为 和n的函 数. 例1.1 计算 的近似值. 输入 s1[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,0,n-1}]]; s2[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]]; 再输入 Clear[f];f[x_]=x^2; js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}]; TableForm[js1,TableHeadings->{None,{ "n", "s1", "s2"}}] 则输出 n s1 s2 2 0.125 0.625 4 0.21875 0.46875 8 0.273438 0.398438 16 0.302734 0.365234 32 0.317871 0.349121 64 0.325562 0.341187 128 0.329437 0.33725 256 0.331383 0.335289 512 0.332357 0.334311 1024 0.332845 0.333822 这是 的一系列近似值. 且有 不定积分计算 例1.2 求 输入 Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x] 则输出 例1.3 求 输入 Integrate[x^2*ArcTan[x],x] 则输出 定积分计算 例1.4 求 输入 Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}] 则输出 4 例1.5 求 输入 Integrate[Sqrt[4-x^2],{x,1,2}] 则输出 例1.6 求 输入 Integrate[Exp[-x^2],{x,0,1}] 则输出 其中Erf是误差函数, 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入 NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}] 则有结果 0.746824. 变上限积分 例1.7 求 输入 D[Integrate[w[x],{x,0,Cos[x]^2}],x] 则输出 -2 Cos[x] Sin[x]w[Cos[x]2] 注意这里使用了复合函数求导公式. 例1.8 画出变上限函数 及其导函数的图形. 输入命令 f1[x_]:=Integrate[t*Sin[t^2],{t,0,x}]; f2[x_]:=Evaluate[D[f1[x],x]]; g1=Plot[f1[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; g2=Plot[f2[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]; Show[g1,g2]; 则输出所求图形. 定积分应用 例1.9 设 和 计算区间 上两曲线所围成的平面的面 积. 输入命令 Clear[f,g];f[x_]=Exp[-(x-2)^2 Cos[Pi x]];g[x_]=4 Cos[x-2]; Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,0,1]}]; FindRoot[f[x]==g[x],{x,1.06}] FindRoot[f[x]==g[x],{x,2.93}] NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06258,2.93742}] 则输出两函数的图形及所求面积 例1.10 计算 与 两点间曲线的弧长. 输入命令 Clear[f];f[x_]=Sin[x+x*Sin[x]]; Plot[f[x],{x,0,2Pi},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; NIntegrate[Sqrt[1+f'[x]^2],{x,0,2Pi}] 则输出曲线的图形及所求曲线的弧长12.0564. 注: 曲线 在区间 上的弧长 . 例1.11 求曲线 与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋 转体体积. 输入 Clear[g]; g[x_]=x*Sin[x]^2; Plot[g[x],{x,0,Pi}] 则输出图1-1. 图1-1 观察 的图形. 再输入 Integrate[Pi*g[x]^2,{x,0,Pi}] 得到输出 又输入 Integrate[2 Pi*x*g[x],{x,0,Pi}] 得到输出 若输入 NIntegrate[2 Pi*x*g[x],{x,0,Pi}] 则得到体积的近似值为 27.5349. 注:图1-1绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积 此外,我们还可用ParametricPlot3D命令(详见本项目实验2的基本命令)作出这两个旋转体的 图形. 输入 Clear[x,y,z,r,t]; x[r_,t_]=r; y[r_,t_]=g[r]*Cos[t]; z[r_,t_]=g[r]*Sin[t]; ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}] 则得到绕x轴旋转所得旋转体的图形. 又输入 Clear[x,y,z]; x[r_,t_]=r*Cos[t]; y[r_,t_]=r*Sin[t]; z[r_,t_]=g[r]; ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}] 则得到绕y轴旋转所得旋转体的图形. 实验习题 1. 求下列不定积分: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 2. 求下列定积分: (1) ; (2) ; (3) (a >0); (4) ; (5) ; (6) . 3. 求 的近似值. 4. 设 作出 的图形, 并求 5. 画出变上限函数 及函数 的图形. 6.设 求 x轴, 所围曲边梯形绕x轴旋转 所成旋转体的体积V, 并作出该旋转体的图形. 实验2 空间图形的画法(基础实验) 实验目的 掌握用Mathematica绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形. 基本命令 1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D 命令Plot3D主要用于绘制二元函数 的图形. 该命令的基本格式为 Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项] 其中f[x,y]是 的二元函数, x1,x2表示x的作图范围, y1,y2表示y的作图范围. 例如,输入 Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}] 则输出函数 在区域 上的图形. 与Plot命令类似, Plot3D有许多选项. 其中常用的如PlotPoints和ViewPoint. PlotPoints的用 法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints->15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要 用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint用于选择图形的视点(视角), 其默认值为 ViewPoint->{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变视点. 2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D 用于作曲面时, 该命令的基本格式为 ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项] 其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u的范围, v1,v2是参数v的 范围. 例如，对前面的旋转抛物面, 输入 ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2 Pi}] 同样得到曲面 的图形. 由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因 而是常用的方法. 又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D作图. 但是, 它的 参数方程为 因此,只要输入 ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi}] 便作出了方程为 的球面. 用于作空间曲线时,ParametricPlot3D的基本格式为 ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1,t2},选项] 其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程表示式. t1,t2是作图时参数t的范围. 例如, 空间螺旋线的参数方程为 输入 ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10,RGBColor[1,0,0]},{t,0,8 Pi}] 则输出了一条红色的螺旋线. 在这个例子中，请读者注意选项RGBColor[1,0,0]的位置. 用于作空间曲线时, ParametricPlot3D的选项PlotPoints的默认值是30, 选项ViewPoint的默 认值没有改变. 3.作三维动画的命令MoviPlot3D: 无论在平面或空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画. 例如, 输入调用作图软件包命令 <12] 则作出了12幅曲面图, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画. 实验举例 一般二元函数作图 例2.1 作出平面 的图形,其中 . 输入 Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}] 则输出所作平面的图形. 如果只要位于第一卦限的部分, 则输入 Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}] 观察图形. 其中作图范围选项为PlotRange->{0,6},而删除的部分显示为一块水平平面. 例2.2 作出函数 的图形. 输入 k[x_,y_]:=4/(1+x^2+y^2) Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30, PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}] 则输出函数的图形2-1. 观察图形, 理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义. 选项 BoxRatios的默认值是{1,1,0.4}. 图2-1 例2.3 作出函数 的图形. 输入命令 Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3}, PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic]; 则输出所求图形. 例2.4 作出函数 的图形. 输入 Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->False, Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False] 则输出网格形式的曲面图2-2, 这是选项Shading->False起的作用, 同时注意选项Boxed->False 的作用. 图2-2 二次曲面 例2.5 作出椭球面 的图形. 这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D. 该曲面的参数方程为 ( ). 输入 ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v], Cos[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30] 则输出椭球面的图形. 其中选项PlotPoints->30是增加取点的数量, 可使图形更加光滑. 例2.6 作出单叶双曲面 的图形. 曲面的参数方程为 ( ) 输入 ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v], 3*Tan[u]}, {u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30] 则输出单叶双曲面的图形. 例2.7 作出圆环 ,( ) 的图形. 输入 ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v])*Sin[u], 7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}]; 则输出所求圆环的图形. 曲面相交 例2.8 作出球面 和柱面 相交的图形. 输入 g1=ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity]; g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v}, {u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity]; Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction] 则输出所求图形. 例2.9 作出曲面 及 面所围成的立体图形. 输入 g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t], r*Sin[t],r^2},{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->30]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]*Sin[r],Sin[t]Sin[r],Cos[r]+1},{t,0,2*Pi}, {r,0,Pi/2},PlotPoints->30]; Show[g1,g2] 则输出所求图形. 例2.10 作出螺旋线 ( )在 面上的正投影曲线的图形. 所给螺旋线在 面上的投影曲线的参数方程为 . 输入 ParametricPlot[{2t,10Cos[t]},{t,-2Pi,2Pi}]; 则输出所求图形. 注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投 影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中 并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可. 例2.11 作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形. 输入 Clear[r,x,y,z]; r[t_,v_]:=2+0.5*v*Cos[t/2]; x[t_,v_]:=r[t,v]*Cos[t] y[t_,v_]:=r[t,v]*Sin[t] z[t_,v_]:=0.5*v*Sin[t/2]; ParametricPlot3D[{x[t,v],y[t,v],z[t,v]},{t,0,2 Pi}, {v,-1,1},PlotPoints->{40,4},Ticks->False] 则输出所求图形. 观察所得到的曲面, 理解它是单侧曲面. 空间曲线 例2.12 作出空间曲线 的图形. 输入 ParametricPlot3D[{t*Cos[t],t*Sin[t],2*t,RGBColor[1.0,0,0.5]},{t,0,6 Pi}] 则输出所求图形. 动画 例2.13 作模拟水波纹运动的动画. 输入调用软件包命令 <50,AspectRatio->0.5, ViewPoint->{0.911,-1.682,2.791},Frames->12] 则输出12幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 例2.14 用动画演示由曲线 绕z轴旋转产生旋转曲面的过程. 该曲线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为 其参数方程为 输入 For[i=1,i<=30,i++,ParametricPlot3D[{Sin[z]*Cos[u],Sin[z]*Sin[u],z}, {z,0,Pi},{u,0,2*Pi*i/30},AspectRatio->1,AxesLabel->{"X","Y","Z"}]]; 则输出连续变化的30幅图形. 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 实验习题 1.用Plot3D命令作出函数 的图形, 采用选项 PlotPoints->40. 2.作出函数 的图形. 3.用Plot3D命令作出函数 在 上的图形, 采用选项PlotPoints->60. 4.二元函数 在点(0,0) 处不连续, 用Plot3D命令作出在区域 上的图形(采用选项PlotPoints->40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况. 5.一个环面的参数方程为 试用命令ParametricPlot3D作出它的图形. 6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为 试用命令ParametricPlot3D作出它的图形. 7.用命令Plot3D作双曲抛物面 ,其中 (用选项 BoxRatios->{1,1,1}, PlotPoints->30). 8.用命令ParametricPlot3D作出圆柱面 和圆柱面 相交的图形. 9.用命令ParametricPlot3D作出抛物柱面 和平面 相交的图形. 10.用命令ParametricPlot3D作出圆柱面 和圆柱面 相交所成的空间曲线 在第一封内的图形. 11.用命令ParametricPlot3D作出球面 和柱面 相交所成的空 间曲线的图形.