行列式3

null小结小结性质 行列式按行(列)展开 行列式的计算 50 按行可拆为两个的和;均可化为 三角行列式• 特殊行列式 • 一般地六条20 互换两行变号; 30 可提取某行公因子; 60 某行的倍加到另一行上值不变.10 转置值不变;40 有两行成比例值为0;对角、三角行列式每行(列)之和相等的对称行列式奇数阶反对称行列式结合性质降阶求值建立递推公式代数余子式的重要性质 代数余子式的重要性质 若理解为一个行列式 按第 s 行展开的展开式▇ ▇ ▇ 行列式中任意行(列) 的元素与另一行(列) 对应元素的代数余子式的乘积之和= 0 i ,s 两行的关系?第 s 行元素?反之: n 个特殊的n-1阶行列式的代数和 示一个n 阶行列式等于零.推论例12 (P.25)例12 (P.25)同类因式的乘积用数学归纳法证关于范德蒙行列式注意两点形式 —— ↓按升幂排列，形成等比数列； 结果 —— 共 n (n-1) / 2 项的乘积, 可正可负可为零.对于范德蒙行列式,我们的任务就是：利用它计算行列式 因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做吗？如如▋▋▋null一般地?§3 克莱姆法则§3 克莱姆法则引例 二元一次方程组的解考虑方程组与二元方程组类似, n 元方程组的解也可用行列式表示 克拉默法则克拉默法则则(1)有唯一解其中： 要证明这一定理, 需证明两点: 若(1) 的系数行列式1) 方程组(1)有解(存在性); 2) 解惟一(唯一性); 证证为此构造 n+1 阶行列式i = 1 : n +1个n 阶 行列式的代数和上式等价于①null 此行列式为零. 将其按第一行展开, 得:█ █ █ █ █ 类似证 i =2, ⋯, n 2) 证解是惟一的:2) 证解是惟一的: 干脆抛开其计算公式, 仅保留其理论价值P. 30 例13 请自读由此例可体会到克氏法则并不实用——要计算n +1 个 n 阶行列式但它仍具有极为重要的理论价值. —— 根的存在性和唯一性即有下述定理定理4 若方程组(1) 的系数行列式不为零, 则它有唯一解. 定理4 若方程组(1) 的系数行列式不为零, 则它有唯一解. 零解 则它只有 惟一零解.定义 称方程组为齐次线性方程组.总有 解非零解？定理5 若齐次方程组的系数行列式 D≠0,定理5 若齐次方程组有非零解 判定行列式为零的充分条件逆否命题零解定理4 若方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数 行列式必为零。例1 (P. 32例14)例1 (P. 32例14)解 若方程组有非零解, 则其系数行列式为零, 即 例2 证明方程组例2 证明方程组有惟一零解. 证 因为系数行列式为故方程组有惟一零解。按定义展开, 仅主对角线上元素的 乘积为奇数, 其余的乘积均是偶数例3 行列式练习：例3 行列式练习：1. 计算第n+1列加到第n列, 第2n 列加到第1列.可用按行或列展开做:null(按第一行展开)记住这类解法!小结小结1、代数余子式的性质 2、克莱姆法则若(1)无解或有两不同的解, 则它的系数行列式 D 必为零若齐次方程组有非零解，则它的系数行列式 D = 0若齐次方程组的系数行列式 D≠0 , 则它有唯一零解若(1) 的系数行列式 D≠0 , 则它有唯一解nullnull矩阵论在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支。 矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。Cayley被公认为 矩阵论的创立者本章内容——引入矩阵概念，继而 介绍矩阵的基本运算和可逆阵 的概念，最后介绍简化矩阵运 算的技巧——矩阵分块法。§1 矩阵的概念§1 矩阵的概念一. 矩阵定义引例 (1)的系数m×n个数可排成 一个m 行n 列的矩形的数阵与(1)式左端 为一一对应这就是矩阵列昂杰夫投入—产出模型列昂杰夫投入—产出模型从经济角度来看，每个部门都有双重身份： 一、 作为生产部门生产出各种产品以满足各种需要 —— 产出 二、 作为消费者又消费着其他部门生产的产品 —— 投入 设国民经济（或某地区的经济）有 n 个经济部门， 为简单起见，假定每部门只生产一类产品。 为便于比较，用货币来表示各部门所生产的产品与消耗的商品。非负数表示每生产1万元第四类商品要消耗掉0.45万元的第三类商品投入—产出矩阵投入系数ijnulln = 3 A : 第一列表明生产第一类商品所消耗的第一类商品、第二类 商品及第三类商品的价值（用货币表示）； 同理，第二（三）列表明生产第二（三）类商品所消耗的各类商品的价值. 投入系数是 小于 1 的正数亏损！正常若A 的每一列各元素之和 > 1亏损！定义定义由mn个数按一定次序排成的m 行n 列的矩形数表 横的各排称为矩阵的行, 竖的各排称为矩阵的列,称为矩阵的第i 行j 列的元素.元素为实数的矩阵 称为实矩阵, 我们只讨论实矩阵. 称为 mn 阶矩阵, 简称矩阵. 矩阵通常用大写字母A、B、C 等表示，例如简记为脚标行矩阵列矩阵