断裂统计学

断裂统计学 MA 02139，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2001 年 3 月 30 日 引言 断裂现象最为棘手的问题之一是它的不确定性，尤其是对高强度和脆性材料。师必 须能从容对付这一难题，限制应力值、以使失效概率降至可接受的较低值。然而选择这一可 接受的风险值本身也是一个使人为难的设计决策。显然，在涉及人身安全的情况下，该值必 须尽可能地接近于零；但对门把手和其他廉价物品，失效不会带来太大的麻烦，该值就可高 些。下述内容并不能代替对统计学的透彻研究，但对于在预防断裂的设计中需用的统计理论， 至少将介绍其某些基本方面。柯林斯（Collins）编写的教材1对断裂和疲劳数据的统计 作了广泛的论述，特推荐给读者作为进一步阅读的资料。 基本统计量 在材料性质手册中引用的抗拉强度 fσ 值通常是算术平均值，它就是将许多个强度测量 值之和除以被测试样数所得的结果： 式中， fσ 的上划线示平均值、 if ,σ 是 个试样中的第 个试样测得的强度值。当然，并 非所有试样的强度值都正好等于这个平均值；有些偏小，有些偏大。有几种方法可以度量强 度分布的离散程度，其中一种重要的度量是样本差，即各测量值与平均值之偏差的均方 根： N i 对设计师而言， 通常要与平均值相比较才有意义，因此常常用到变差系数（英文缩写为 C.V.）： s 变差系数常用百分数来表示。抗拉强度的变差系数一般在 1－10%范围内，若其值远远超出 此范围，就表明样本制备或实验误差中有严重问题。 1 Collins, J.A., 机械设计中的材料失效（Failure of Materials in Mechanical Design）, Wiley, 1993. 1 例 1 为了说明本模块中将略述的统计方法，在室温下测量石墨/环氧树脂复合材料的 抗拉强度，得到一组共 30 个测量值2。这些数据（单位为kpsi）分别是：72.5, 73.8, 68.1, 77.9, 65.5, 73.23, 71.17, 79.92, 65.67, 74.28, 67.95, 82.84, 79.83, 80.52,70.65, 72.85, 77.81, 72.29, 75.78, 67.03, 72.85, 77.81, 75.33, 71.75, 72.28, 79.08, 71.04, 67.84, 69.2, 71.53。另外，在习题 2 和 3 中还各有一组分别在 93℃和–59℃温度下得到的测量值，来源相同，每组也是 30 个数 据，可作为家庭作业、进行相同的处理。 有几个计算机程序包可用于统计计算，这里将略述的大部分程序可用电子制表软件来执 行。在微软的 Excel 软件中，求平均值和标准差的函数分别是 average( )和 stdev( )，其 中自变量存储单元的值域包含所有上述数据。根据以上数据可得 变差系数为 ( ) %32.6%10073.284.63C.V. =×＝ 。 正态分布 如果把强度落在离散的强度区间 fσ∆ 内的试样数，对 fσ 画出如图 1 所示的柱状图，就 能得到关于强度变化的更完整的图像。柱状图的最大值出现在强度的平均值附近，而柱状图 的宽度与标准差有关。 图 1 例 1 中强度数据的柱状图和正态分布函数 随着样本数量的增加，画柱状图时, 增量 fσ∆ 可取得越来越小，最后形成一条光滑的 概率分布函数(英文缩写为 pdf)曲线。该函数的数学表达式取决于材料（在某些情况下也取 决于试验方法），不过许多自然现象都可令人满意地用正态函数（或称为高斯（Gauss）函数） 来描述： 式中， X 是标准正态变量，它就是表示单个试样的强度偏离平均值有多少个标准差。因子 2 参见P. Shyprykevich, ASTM STP 1003, pp. 111-135,1989. 2 π21 可将函数标准化，使该函数在负无穷至正无穷区间上的积分为 1。如果在某个应力 作用下，试样失效的可能性是 100%，则上述积分必须为 1。在上式中，我们已假定：把许 多离散的样本数据代入式（2）后确定的标准差的测量值，其接近“真”值的程度是我们可 接受的（如果世界上的每件材料都可设法进行测试，才能得到这样的“真”值）。 正态分布函数 可画成“钟形曲线”，该曲线是看重分数的学生所熟知的。其积分 称为累积分布函数，记作 ，也是常用的。 曲线的纵坐标就是断裂的概率，也 是强度低于对应横坐标值的试样所占的份额。因为正态概率分布函数已经标准化，所以累积 分布函数的曲线呈 S 形上升，且当 )(Xf )(XPf )(XPf X 值很大时趋近于 1。这两个函数 和 的曲 线在图 2 中绘出，相应的数据如本模块的附录中表 1 和表 2 所列。幸存概率 也是常用的， 这里 ，其函数曲线从纵坐标接近 1 处开始，然后随着所作用应力的增加，呈 形 曲线下降至零。 )(Xf )(XPf sP fs PP −= 1 S 图 2 微分正态概率分布函数 和累积正态概率分布函数 )(Xf )(XPf 要确定一组特定的测量值是否服从正态分布，一个简便的方法是采用特殊图纸（附录中 有其复印件），这种图纸的纵坐标是非等间距的，以使累积分布函数 的 形曲线能画成一 条直线（有时候，在曲线纸上研究直线要比在直线纸上研究曲线更为容易）。将实验数据从 最小值到最大值依次排列，并按照大于该数据的强度值所占的份额来确定每个累积频率。如 果累积频率指定为 fP S )1( +Ni ，这里 i 是数据在序列中的位置、 是试样数，则累积频率总 是大于零而小于 1，这样处理是为了便于作图。 N 因而在正态概率纸上，这些累积频率-强度数据对应的点与直线接近的程度，很直观地 反映了用正态分布来描述这些数据的合适程度。最佳拟合直线与 50%累积频率线相交，交 点的横坐标就是样本平均值，拟合直线的斜率就是标准正态概率分布函数。例如，对给定材 料的两种不同加工条件，画出几条这样的曲线，就可很方便地说明由不同条件所引起的强度 差异（见习题 2）。 3 例 2 对于总体的一个容量为 30 的样本测试值，排序后的数据和累积频率数据分别为： 将这些数据在纵坐标非等间距的概率纸上作图，就得到图 3 所示的图像。 图 3 失效的累积分布概率图（根据例 1 的强度 数据以及较高和较低温度下的试验数据画出） 前面已对正态分布函数作了详尽的描述，对于接近正态的强度分布，我们有可能从正态 4 分布函数的特性获得大量有用的信息。例如，附录中的表 2 所列的累积正态分布函数（英文 缩写为cdf）值表明：正态分布的所有随机数中，有 68.3%落在平均值± 1 的范围内；有 95% 落在平均值 1.96 的范围内；有 99.865%落在平均值 s ± s ± 3 的范围内。在飞机设计中，大多 按惯例取 s sf 3−σ 为安全的断裂强度，于是几乎所有试样中的 99.9%都至少达到了这么高的 强度。这并不是说在 1000 个飞机机翼中有一个是不安全的，因为在统计理论的精度范围内， 0.1%是个可忽略的数字，实际上，3 的容许偏差基本上包括了整个总体s 3。对于诸如复合材 料之类的新型材料而言，它们强度高，但因其加工工艺的相对落后使强度的变化范围较大， 在设计中考虑到 3 规则，就不得不降低其强度的平均值。这是此类新型材料的市场份额受 到限制的一个主要因素。 s 除了用目测法检验概率图的线性外，还可用几种“拟合良好性”检测法、估计将总体确 定为正态（或某个其他的）分布函数的合理程度。为此目的常用的有“ χ 平方”检测法。 为了检测观测数据与期望数据（后者由正态分布或其他已知分布得出）的偏离程度，该法采 用的检验统计量为 式中， 是强度值实际落在强度增量in if ,σ∆ 内的样本数， 是样本总数， 是根据假定的 分布确定的、样本的强度值落在该增量内的期望概率。 N ip 例 3 为了把 检测法应用到例 1 那组有 30 个测试值的总体中，我们先算出落在选定 的强度增量区间内的强度个数，就像当初构建柱状图一样。我们选择 5 段增量，以使每段增 量中都有合理的个数。落在每段增量中的期望个数由正态概率分布函数表确定，然后再算出 差的平方值。 2χ 因为我们有限制条件： 3054321 =++++ nnnnn ,所以这个 试验的自由度是 4，比增 量段的数目少 1。 2χ 对 分布表（附录中的表3）中查得的数值进行插值运算，我们发现：正态分布总体 中的0.44部分，可期望其 统计值等于 。因此，看起来上述总体看作正态分布是合理 的。 2χ 2χ 88.3 通常我们还会以其他方式发问：前面算得的 值是否大到正态分布的总体中只有很小2χ 3 在制造业中，“6σ ”已成为一个普遍追求的目标，这意味着大约十亿个零件中只有 1 个是不合格的。 5 部分（比如说 5%）才能达到或者超过？如果是，我们将拒绝该总体是正态分布的假设。 从 分布表中，我们查得：对 ，2χ 488.92 =χ 05.0=α ，这里α 是大于 的 值 在 总体中所占的份额，这相当于说：由正态分布描述的总体算得的 值大于 的 可能性要小于 ，而我们得到的值 要比 小得多，因此，我们有充分的理由认 为上述数据是服从正态分布的。 488.9 2χ 2χ 2χ 488.9 05.0 878.3 488.9 一些官方和非官方的标准制定机构曾致力于开发一些标准化程序，使得对重大结构的设 计，能由程序得出统计上容许的性能值4。一种这样的程序把“B-容许”强度定义为：我们 以 95%的置信度相信,所有样本中的 90%将至少达到该强度水平。（这里用到的两个百分数 也许会引起混淆。我们的意思是：如果我们要测试 100 组试样 (每组 10 个)的强度，其中至 少有 95 组(每组中至少有 9 个) 试样的强度值超过B-容许强度）。若正态分布函数适于描述 某种随机事件的总体，则B标准值可由平均值和标准差通过以下公式算得 式中， 等于 乘以“偏心 分布”的第 95 个分位数； 值已列成表格，但可用下式 来近似 Bk 2/1−n t Bk 例 4 在前面有 30 个测试数据的例子中，算得 78.1=Bk ，因此，B 标准值不如 3s 规 则保守，其值为 得到分布函数以后，我们就能说明：通过必需的、有限次数的强度试验测得的平均强度， 其置信度（即可靠性）有多大。数理统计中著名的且极其有用的研究成果指出：如果分布的 均值被测量了 次，则均值的分布自身的标准差 与原分布的标准差 和测定次数 有关 N ms s N 用此结果可建立置信限。因为正态分布的总体中，95%的测量值落在离均值 1.96 标准差的 区间内，因此我们可以期望：在 100 个均值的测量值中，有 95 个将落在离均值自身的均值 ± Ns96.1± 的区间内。故即使均值的变化范围大，我们仍能使平均强度的测量值具有我们 所要求的任何置信度水平，我们要做的只是测量更多的次数以增加上式中的 值。实验数 据图上常见的“误差条”不一定都有标注，读者必须意识到：它们通常是指标准差，但也可 能指最大值和最小值，偶而也会指 95%的置信限。这三者的意义显然是完全不同的。 N 4 军用手册（Military Handbook 17B），Army Materials Technology Laboratory, Part I, Vol.1, 1987. 6 例 5 由式（4）可知，若我们不断重复前面例子中 30 个观测值的测试系列（显然每次 都要用新的样本），则测得的样本均值中的 95%将落在以下区间内 t 分布 附录的表 4 中列出的“ ”分布的函数曲线类似于正态分布，是一条以均值为中心的钟 形曲线。将 t 分布应用于强度数据有几个不同的用途。当样本中只有为数不多的试样时，用 分布来计算置信限要比用正态分布好。对例 3 含 30 个测试数据的样本，自由度为 29（因 为有强度的试样数之和受试样总数的限制，故自由度数要比试样的总数小 1），从表中 可知，与 95%相对应的 t 值是 2.045。若以因子 2.045 代替例 5 中的 1.96，算得的置信限变化 不大。随着试样数的增加， 值将趋近 1.96。试样数较少时， 值远远地偏离 1.96：当 n＝5 时， t = 2.571；n＝3 时， t = 3.182。 t t t t t 分布还可用来判断：两个从同一总体中抽取的试验样本是否有显著差异？或者，两个 样本的统计量（例如平均值）的差异，是否可归咎于统计量的变动——这是我们可预期的， 而两个样本实质上都取自相同的总体。例如，图 3 给出了在三个不同的温度下测得的石墨– 环氧树脂试样的累积失效概率，由图可见，平均强度在高温下有所降低，而在低温下则降低 得更多。但是，这些是真正的差异，或仅是统计意义上的离散呢？ 要回答这个问题，可用任意两个样本的均值和标准差，按下式计算 t 值 若两个标准差 和 相差不大，则该统计量服从 分布。图 3 所示的－59℃时数据的均值和 标准差分别为 65.03 和 5.24。用式（5）来比较室温（23℃）和－59℃下的数据，t 统计量为 1s 2s t 现从附录的表 4 中，查找对应于总体的 95%（或其它想要的值）、自由度为 29 时的 t 值。查 找时我们要查看 ＝0.975（不是 0.95）的那列，因为 分布是对称的，总体的另一个 0.025 部分位于 ＝－0.975 以外。对总体的 95%（ ＝0.975）和自由度为 29 的条件，查得 值 为 2.045。 )(tF t t )(tF t 该结果表明：若我们从同一个总体中，分别选取任何两个各有 30 个任意试样的样本， 则这些选择中的 95%，其由式（5）算得的统计量 小于 2.045；只有 5%的 值会比较大。因 为对－59℃和 23℃时的两个样本，其 统计量 6.354 要比 2.045 大得多，由此我们可以得出 结论：这两组数据取自同一个总体的可能性很小。反过来说，我们可以推断：这两组数据实 际上是统计上独立的，温度对强度有统计上显著的影响。 t t t 威布尔（Weibull）分布 大试样的强度平均值往往低于小试样，这就是因为在给定的应力作用下，大试样更容易 7 包含大到足以诱发断裂的裂纹。这一效应可以直接测量，例如，画出纤维强度对纤维长度的 关系图，如图 4 所示。因为类似的原因，脆性材料试验时的弯曲强度往往高于拉伸强度，因 为在弯曲时，应力集中在靠近外表面的较小区域内。 图 4 蓝宝石晶须的长度 对断裂强度c fσ 的影响5 尺寸效应的假设使 20 世纪三、四十年代的统计分析界取得了实质性的发展成就,最杰出 的贡献也许是威布尔6（W. Weibull）在 1939 年作出的。威布尔假定:在应力σ 作用下的幸存 概率（即在应力σ 作用下，试样体积内不包含足以引起破坏的大裂纹的概率），可表示为如 下形式 图 5 威布尔函数 威布尔选择这一表达形式是为了数学上的方便，而不是为了理解某一基本原理。但通过许多 试验，业已发现该式能很好地描述断裂的统计特性。参数 0σ 和 是可调整的常数。图 5 显 示了对参数 的两个值画出的威布尔函数曲线的形状。性能变化较大的材料 值较小，钢 m m m 5 引自L.J. Broutman and R.H. Krock, 现代复合材料( Modern Composite Materials), Addison-Wesley, 1967. 6 参见B. Epstein, J. Appl. Phys., Vol. 19, p. 140, 1948. 这既有助于回顾断裂的尺寸效应的统计学研究历史，也 可纵览极值统计学在断裂问题上的应用。 8 的 ，而陶瓷的 。 与变差系数有关，作为合理的近似式，100≈m 10≈m m C.V.2.1≈m 。 对式（6）取对数，可改进前面曾略述的正态概率纸作图法： 因此，超出某一特定强度σ 的概率的二重对数对强度的对数的图像，应该是一条斜率 为 的直线。 m 例 6 再用前例中 30 个试验数据的样本。要估计参数 0σ 的值，可画出幸存概率（1 减 去累积频率）图，并从图中找出 降至SP 37.01 =e 时的 fσ 值，由此可得 740 ≈σ （由更精 确的回归法可得 46.750 =σ ）。于是 的二重对数与SP 0σσ f 的对数之间的关系可列表如下 这些数据的威布尔图如图 6 所示，回归直线的斜率为 17.4。 9 图 6 威布尔图 类似于正态分布的B标准设计容许值，根据威布尔参数 和m 0σ 也可算出B容许值。其 计算过程如下7： 式中，Q和V 分别为 例 7 对于上述 30 个测试数据的总体，B 容许值的计算如下 该 B 值略低于由正态分布得到的 B 容许值 65.05，因此在本题中，威布尔方法更为宽松些。 用威布尔方程可预测尺寸效应的大小。例如，如果我们取参考体积为 ，把任一试样 的体积表示为 ，则可求得在体积V 中的失效概率就是 自乘 n 次： 0V 0nVV = )(VPS 7 S.W. Rust, et al., ASTM STP 1003, p. 136, 1989. (或参见军用手册（Military Handbook）17.) 10 因此，失效概率随着试样体积的增加按指数律增加。可见，简单地按比例缩放，除了模 块 1 中略述过的面积对体积的讨论指出的危险外，还可能带来另一种危险。 例 8 由式(7)求得，对给定的幸存概率,其应力为 对 30 个试样的总体，取 46.750 =σ 、 4.17=n ，对于 5.0=SP 且 10 =VV 的情况， 得 kspi9.73=σ 。若试样的大小增加 1 倍，则 20 =VV ，由式（7）可得，在该应力下的 幸存概率跌至 。另一方面，若试样的大小减半（25.0=SP 5.00 =VV ），则幸存概率升至 。 71.0=SP 最后的警告，颇有几分像著名作家马克·吐温与此有关的格言“谎言、该死的谎言和统 计学”。毋庸置疑，经典的统计学分布能很好地描述简单拉伸试样或其他实验室试样的总体。 但这并不意味着：像桥梁和飞机这样更复杂的结构也能这样简洁地来描述。例如，Gordon8所 引用的一项对飞机的研究表明：断裂随机而均匀地发生在一个很宽的载荷范围内，此范围超 出了根据统计学设计的安全载荷的上、下限。任何实际设计，尤其是结构失效可能会危及生 命的情况，必须用工程师所能想到的每一种合理方法进行反复检验。这些检验包括：断裂验 证试验；对可能出现的最坏环境因素的考虑；对因为设计的构件难以制造而引起的结构误差 的考虑，等等，几乎没有什么限制。经验、谨慎和常识通常与精密的数值计算同等重要，甚 至更为重要。 习题 1 根据 10 个强度测量值，得到的平均拉伸强度为 MPa100＝fσ ，且 95%的置信限为 MPa8± 。为了将置信限减至原来的一半，需要另外测量多少试样？假定测量的平均值和标 准差保持不变。 2 例 1 中所列的石墨/环氧树脂复合材料，其 30 个拉伸强度测量值是在室温下得到的。 在 93℃温度下再做 30 次试验可得如下数据（单位为 ）：63.40，69.70，72.80，63.60， 71.20，72.07，76.97，70.94，76.22，64.65，62.08，61.53，70.53，72.88，74.90，78.61， 68.72，72.87，64.49，75.12，67.80，72.68，75.09，67.23，64.80，75.84，63.87，72.46， 69.54，76.97。对于以上数据： kpsi (a) 求算术平均值、标准差和变差系数。 8 J.E. Gordon, 结构（Structures）, Plenum Press, 1978. 11 (b) 求对平均强度的 95%的置信限。 (c) 判断在 23℃和 93℃温度下的平均强度是否在统计上有显著差异。 (d) 求正态的 B 容许强度和威布尔的 B 容许强度。 (e) 在正态概率纸上，画出累积失效概率 对失效应力的图像。 fP (f) 根据 检验，所得的数据是否服从正态分布？ 2χ (g) 在威布尔概率纸上，画出幸存累积概率 对失效应力的图像。 sP (h) 求威布尔参数 0σ 和 。 m (i) 如果试样的大小缩小十倍或增大十倍，试估计强度的平均值将如何变化？ 2． 用–59℃温度下得到的数据，重解上题。这些数据如下：55.62，55.91，56.73，57.54， 58.28，59.23，60.39，60.62，61.1，62.1，63.69，63.8，64.7，65.2，65.33，66.39， 66.43，66.72，67.05，67.76，68.84，69.15，69.3，69.37，69.82，70.94，71.39，71.74， 72.2，73.46。 附录-统计表和概率纸 如果没有合适的软件，以下是一些可用于统计计算的标准表格和图纸。 1． 正态分布表 2． 累积正态分布表 3． 表 2χ 4． t 分布表 5． 正态概率纸 6． 威布尔概率纸 12 1. 正态分布表 13 2. 累积正态分布表 14 15 16 17 18