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不等式｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或〉）恒成立问题的导数解法之探究

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不等式｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或〉）恒成立问题的导数解法之探究 中学数学杂志 2010年第 5期 冤 ' 蔓 店蟊勇 不等式 )一 2)l) 恒成立问题的导数解法之探究 江苏南通高等师范学校 226100 曹 军 1 问题提出 关 于 l 。)一 )ll 一 ：f)的恒成立问题，近期 的期刊杂志上出现频率较高的一种方法是导数法， 解法比较巧妙，现选取一例(见文[1])： 例1 已知函数 )= +0 +b对任意的 ， 厅 ：∈ (0， )( ≠ )，都有 l )一 )l< I 一 l，求实数0的取值范围． 解法1 因为 )= +n +b，所以厂(...
不等式｜f（x1）-f（x2）｜〈｜x1-x2｜（或〉）恒成立问题的导数解法之探究
中学数学杂志 2010年第 5期 冤 ' 蔓 店蟊勇 不等式 )一 2)l) 恒成立问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的导数解法之探究 江苏南通高等师范学校 226100 曹 军 1 问题提出 关 于 l 。)一 )l< l 一 I(或 J ，)一 )J>l 一 ：f)的恒成立问题，近期 的期刊杂志上出现频率较高的一种方法是导数法， 解法比较巧妙，现选取一例(见文[1])： 例1 已知函数 )= +0 +b对任意的 ， 厅 ：∈ (0， )( ≠ )，都有 l )一 )l< I 一 l，求实数0的取值范围． 解法1 因为 )= +n +b，所以厂( )= 3x + ，又因为 ∈(0，譬)，所以0<厂( )<1+ 口，因为 } )一 ：)l< I 一 l，所以 一1< 二 < 1 ． l 一 2 所以r ≤n，即一1≤。≤0，即实数。的取 Ll+口≤ l 值范围是[一1．0】． 解法 1的巧妙之处是将 转化为 I — X2 -厂( )来求解，这种解法默认了如下命题： 命题 设Y= )是定义在开区间(0，b)上的 可导函数，其图像上任意不同两点A、 连线(称为 割线)斜率的取值范围，就是函数图像上在AB之间 任一点切线斜率的取值范围． 然而这是一个假命题，反例如下：函数Y= 。( ∈(一2，4))，由导数的几何意义，图像在任意一点 处的切线斜率为k=Y =3x ，它的取值范围是[0， 16)；又设图像上不同两点为A(x ， )、B( ， ；)， 。 ≠ ，贝Ⅱ后 = —二— = + l 2+ 2： l 一 ， 。 一 ( + 1 ) + 3：2，它的取值范围是(o，16)，显然 [0，16)≠(0，16)． 可见例 1的解法 1缺乏理论依据，因而是错误 的，换一种正确解法试试看呢． 解法2 不妨设 。< ，则l )一f(x )l< 一 ： ffi x 2,；+-- X2。三 ；： ， 令g( )= )一 ， ( )=-厂( )+ ，则条件等 价于g( )在(0，譬)上递减，且 ( )在(0，譬)上递 增，即g，( )：3 z+Ⅱ一1≤0在(0， )上恒成立， 且 ，( )：3 +口+l≥O在(0， q -)上恒成立， 所以fg (譬)≤。，解得一l≤。≤。，所以口的 【 ，(0)≥0 取值范围是[一1．0】· 对照解法2，解法 1虽然错误，但结果却是正确 的，这是巧合还是解法 1具有合理性?这里究竟暗藏 着什么玄机呢? 2 结论探究 2．1 特殊猜想 我们不妨将例1稍作改变成例2，还是用例1的 两种解法解答： 例2 已知函数 )： 一 +n +b对任意 的 ， ： ∈ (0， 5A - )( ≠ ：)， 都 有 舅 舅 ￡ 中学数学杂志 2010年第5期 lf(x )一f(x )I” j ≥m；(2 的范围是kAB≥mj ≥m；(3 的范围是k>mj AB >m；(4 的范围是 ≥m A口≥m． 证明 设a(x 。))、B( ： ))是函数Y = ． 厂( )图像上任意不同的两点． (1)设 2= + ( ≠0)，由已知得 k^ = 二 ： ．垒 二坠 >m，令 删-+ X2 一 l 0得 ≥ lmm：，n，即厂(戈)≥ 一 ∞ △ — m，也即k≥m，(1)成立； (2)仿照(1)的证明，易知(2)成立． (3)不妨设 < ，由于函数Y= )在定义域 内可导，由微分中值定理可得，在开区间( 。， )内 至少存在一点 ，使得厂( )： ，又已知 几 )：k>m，所以心 )>m，所 > m，即 >m，(3)成立； (4)仿照 (3)的证明易知 (4)成立． 由(1X2X3X4)可推知：切线斜率的取值范围比割 线斜率的取值范围大，而且至多大了割线斜率取值 区间的端点值，由此可得以下事实： 推论 设y= )是定义在开区间(Ⅱ，b)上的 可导函数，连结其图像上任意不同两点4、 的割线 斜率为k ，图像上任意一点处的切线斜率为k，m为 常数． (1)如果k的取值范围是k>m，则 的取值范 围必是k >m；如果k的取值范围是k≥m，则k 的取值范围是k佃 >m与k 口≥m二者之一； (2)如果k 的取值范围是 >m，则 的取值 范围是 k>m与 ≥m二者之一·；如果 舳的取值范 围是 k ≥m，则 的取值范围必是 |j}≥m． 依据推论，在例 1中，因为厂( )的范围恰巧是 开区间(a m1+。)，所以 二 的范围只能是 开区间(a，1+a)，故解法 1的结果正确． 在例2中，因为厂( )的范围是左闭右开区间[a 一了 1 ， 。)，所以 的范围是[口一i1 ，口)与 j 一 1 J (n一去一，Ⅱ)两个中的一个，而解法2误认为是前者， 故有r <口一寺，进而得出一 2<。≤1这个错 l 1 ta ≤ 1 误的答案．事实匕／ 的筢围应该是(。一 号-，口)，从而正确答案是一 2≤ ≤1． 综上所述，笔者以为将 二 转化为 f(x)来求解也是可行的，但必须检验所得范围中区 间的端点是否符合题意，否则容易出错，下面再举一 例说明． 3 方法运用 例 3 (2006年四川高考题理 22的变题)已知 函数_厂( )=2x +÷+A】n ( >0),fix)的导数 是厂( )，对于 任意 的两 个不 等 的正 数 、 ：， {／’( 。)一 ( )l>I 。一 ：I恒成立，求实数A的 取值范围． 解 设g( )=／’( )=4 一 + ，g ( )= 4+ 一 ，由题意i _)_ 一x2 )l>1，由 4+ 一 ，由题意i 二 一一l> ，由 I j— X2 l I g，( )l>1得，I4+一 一一A }>1，以上替换 ，则 ( )l> 得，14+ 一 l> ，以÷替换 ，则 有 l 2x。一A +4 l>1对任意的 >0恒成立． (1)当A≤0时，显然符合题意； (2)当A>0时，令 h( )=2x 一A +4( > 0)，显然 ( )的图象经过 (O，4)， ( )=6x 一 2h ，由 ( )<0得 ( )在(0， 1 A)上递减，由 ( )>0得 ( )在(了1 A，+∞)上递增，所以 ( ) i =^(扣)=一1A +4． 若 ( )mj， ≤ 0，则 J ( )l i =0，此时 }2 一A +4 l>1对任意的 >0不能恒成立，故 必有 ( ) i >0，此时 I ( )l i = ( )mjn=一 解得0I 一 l铮 l4+ 一慧f + >3 或5 + 专兰<3 恒成立，I~t：t：3 。 ： + +告 + + I戈2 ~／ j 2 ~／ 1 2 ~／戈l 2 ≥3 (当且仅当 。 ：= 时等号成立)，即3 。 + >3 成立，所 以 l厂( 。)一厂( )l> l ， ’ 一 I 。一 。l恒成立，故A=3 符合题意． 综上，A的取值范围是A≤3扛 参考文献 [1] 江建平．导数的另类应用[J]．中学数学研究(江西南 昌)，2009(6)． [2] 赵思林．研究高考数学
试题
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的几种视角[J]．中学数学 教学参考，2009(4)． 作者简介 曹军，男，1992年参加工作，现为副教授，硕 士研究生，主要从事学科教学论研究．南通市高层次人才培 养对象，南通市科学技术带头人，江苏教育学院分院学科带 头人，江苏教育学院分院十五优秀教学奖、优秀科研奖获得 者．近几年来有4O余篇论文在省级以上刊物发表，多篇论文 获省市一等奖． l 0 > > 4 4 + + A 人 ● 一 ●一 一 一 ，●●●●●，、●●●l 意 题 由 4 + A
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