正确理解与区分命题的否定与否命题

数学中国 正确理解与区分命的否定与否命题 江苏　　周德春 命题的否定与否命题是逻辑学的难点之一，为了突破这一难点，本文试图全面而又详细地阐述之，以飨读者． 一、命题的否定与否命题的相关概念 １．定义： 设“若 则 ”为原命题，那么“若非 则非 ”就叫做原命题的否命题． 设“ ”是一个命题，那么“非 ”叫做命题 的否定．“非 ”记作“ ” ２．区别：否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假．而命题的否定是（1）在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可．（2）如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定．任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）． 二、命题的否定中的关键词剖析 １．一般命题中 “都…”对应于“不都…”，而不是对应于“都不…”； “全…”对应于“不全…”，而不是对应于“全不…”． “…且…”对应于“…或…”；“…或…”对应于“…且…”， ２．全称命题与存在性命题中 “任意…” 对应于“有些…”等；“存在…” 对应于“所有…”等． “至少有一个” 对应于“一个都没有”等；“至多有一个” 对应于“至少有两个”等． 三、否命题的改写说明：原命题如果是“若 则 ”或“如果…，那么…”的形式，则按照否命题的定义改写即可，原命题如果不是上面的形式，则先改写成上面的形式后，再去写它的否命题． 四、命题的否定与否命题的易错题举例． １．写出“若 ， 都是正数，则 ．”的否命题． 解答：若 ， 不都是正数，则 ． 评注： “都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“ ， 都是正数”理解成“ 是正数且 是正数”，则其否定也可写成“ 不是正数或 不是正数”． ２．写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定． 解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数． 　　　命题的否定：两个奇数的和不是偶数 评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”． (2) “是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是 “是奇数”（为什么？）． ３．写出下列命题的否定： (1)有些常数数列不是等比数列．　(2)平行四边形是菱形． 解答：(1) 任意一个常数数列都是等比数列．(2) 平行四边形不都是菱形． 评注：一般地说，存在性命题的否定可以是全称命题，全称命题的否定可以是存在性命题．所以(1)题的否定是一个全称命题．“平行四边形是菱形”根据意思其实也是一个全称命题，故也可以用“有些平行四边形不是菱形”作为，而解答中仅是对结论作否定的，比较简洁，当然也行的． ４．已知“ ：不等式 的解集是 ”，那么“非 ”为　　　　　　　　． 解答：不等式 的解集不是 ． 评注：命题 是一个简单命题，而不是复合命题，故不能认为“非 ”为“不等式 的解集是 ”．类似地：命题“方程 的解是 ”也是一个（没有使用逻辑联结词的）简单命题． ５．已知 ： ，则“非 ”对应的 值的集合是　　　　　　． 解答：由于 ，即 ： ；所以“非 ”对应的 值的集合是 ． 评注：不能错误认为“非 ”为 而解得为 ． ６．设 ： ， ： ，则 是 的　　　　　条件． 解答：由 知 ： ． 知 ： 而 且反之不成立，所以 是 的充分不必要条件． 评注：出错之处是：认为 为 ，进而得到 ： ，从而导致错误答案为 是 的既不充分也不必要条件．