一种计算市场最优组合的几何方法

第27卷 2007年 6月 计算机应用 Computer Applications Vo1．27 June 2oo7 文章编号：1001—9081(2007)S1—0078—03 一 种计算市场最优组合的几何方法 刘 云 ，黄 斌 ，符红光 (1．中国科学院成都计算机应用研究所，四川 成都610041； 2．成都信息工程学院 计算科学系，四川 成都 610225) (1iuyun．cn@gmail．corn) 摘 要：提出了一种通过均值方差有效前沿上计算无风险资产参与组合时的市场最优组合的几 何方法。该方法不仅解决了Maflab金融工具箱组合分析函数在实际计算时常常失效的问题，而且考 虑了模型的经济意义，提高了计算的鲁棒性。 关键词：最优组合；有效前沿；Maflab金融工具箱 中图分类号：TP319 文献标识码：A 基于马柯维茨(Markowitz)均值方差模型的组合投资分 析，在组合投资理论和实践中都有非常重要的地位。市场最 优组合的计算，是组合分析中的最基本的问题之一。通常的 方法是先计算出均值方差有效前沿，然后选取资本市场线与 有效前沿曲线的切点(假定切点存在)作为最优点 。 Maflab金融工具箱的组合分析就是按照这种思路实现的。但 对实际数据进行计算的时候，切点有时并不存在(只有交 点)；而且数值计算的误差和实际数据的特殊性，常常导致切 点存在却无法找到，这些情况下通常的方法就失效了。本文 提出了用斜率序列确定最优组合的几何方法，较好地解决了 计算失效的问题。 1 考虑无风险资产的均值方差有效前沿 1．1 经典的均值方差有效前沿 均值方差分析方法(meal—variance analysis approach)假 设：(1)投资者事先知道投资收益率的概率分布；(2)投资风 险用投资收益率的方差或标准差标识；(3)影响投资决策的 主要因素为期望收益率和风险两项；(4)投资者都遵守占先 原则：同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率 水平下，选择风险较低的证券。用参与组合的证券的收益率 序列均值来表示投资收益，以收益率序列方差(或标准差)来 衡量风险[2]。假定预期效用函数为均值和方差两个变量的 函数，那么我们可以得到所谓的前沿组合(~onfier portfolio)， 即在所有等收益率均值的证券组合中具有最小的方差，在均 值一标准差( r]一 )空间中，组合有效前沿(eficient~onfier， 也称有效边界)是一条二次曲线 ，如图1中曲线 EF0所 示。 有效前沿曲线上有个最小方差点(表示最小方差组合 minimum variance portfolio)，即曲线上最左边的一个点，记为 MVP点[2 ；有个最大收益点，即有效前沿曲线的右端点，记为 MRP点。考虑投资组合的效率，通常有效前沿曲线指的是 MVP点右上部分，即MVP点和 MRP点之间的曲线段 。 1．2 资本市场线 在均值方差分析方法的基础上，资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model，CAPM)指出，在市场均衡条件 下，风险资产的唯一的有效组合是市场组合⋯。若以M点代 表市场，无风险资产收益率为r，，则在E[r]一 坐标系下有效 集是一条过无风险资产点(0，r，)和市场点肘的直线，通常称 为资本市场线(Capital Market Line，CML)¨ 。CML线方程 为： r= (rM一 )o'／o"M 其中 和 表示市场收益率的期望值和标准差，而r和 表示任意有效资产收益率的期望值和标准差。CML线的斜 率 =( 一r，)／ ，通常称为风险价格(Price of Risk)⋯，表 明在投资组合收益率的标准差上升一个单位时，期望收益率 应该上升多少。显然，K值非负，且越大越好。 1，3 完整的有效前沿曲线 引入无风险资产后，市场最优组合点 就是直线 CML 与有效前沿曲线的切点。在 r]一 空间中，有效前沿曲线由 两段曲线组成——线段r：M(图1中的E几)和原有效前沿上 点右侧的曲线(图1中的EF2)。完整的有效前沿曲线如图1 中的粗实线所示(下文中的有效前沿都是指该曲线，用EF表 示)。 图1 无风险资产参与组合时的均值方差有效前沿曲线 2 计算市场最优组合的一般方法 假设在不允许卖空的市场上，某个资产组合由一种无风 险资产和n种风险资产组成。记无风险资产收益率为r，，第 i 种资产在t时刻的收益率为 ． ，则n种资产在 时期内的收益 率构成了矩阵R。对R按列计算均值，得到n种资产的收益率 均值向量，记为 r]。记R的协方差矩阵为 ，那么n种风险 资产进行组合的风险用组合方差表示为 = VW，其中向 量 表示n种风险资产的组合权重。根据不允许卖空条件，每 种资产的权值大于或等于0，n种资产的权值之和为 1。 收稿13期：2006一O7—26；修订 13期：2006-09—3O 作者简介：刘云(1980一)，男，云南玉溪人 ，硕士研究生，主要研究方向：计算机软件； 黄斌(1965一)，男，四川成都人 ，副教授，主要研究方 向：组合数学与图论； 符红光(1965一)，男，四川成都人，研究员，博士生导师 ，主要研究方向：符号计算、知识发现． 维普资讯 http://www.cqvip.com 6月 刘云等：一种计算市场最优组合的几何方法 79 市场最优组合在图1中用 点表示。要得到最优组合，需 要计算出最优组合点 的收益率 、风险 和组合权重 。 求解 M点的方法总的来说是先得到 EF曲线 ，再求出 CML线 与EF的切点(假定切点存在)，以切点作为 点；最后用插值 法得到 点对应的组合权重。具体如下 ： (1)求出有效前沿点集 文献[4]和金融工具箱都是通过二次规划来计算有效前 沿点集。首先找出MVP点和MRP点(包括点的坐标和组合 信息，即标准差、均值、组合权重)；然后在 MVP点和 MRP点 之间，根据用户指定的点数计算出组合收益率增长的步长；从 MVP点开始，给定一个收益率期望值，以风险最小(方差最 小)作为约束条件，进行一次二次规划： ’ rain 0．2= VW s．t． E[r]： ． =1 。 一 』 1 ’ ’ 』_ I 得到一个 EF上的点 (包括组合收益 、风险和权重)。逐步递 增收益率期望值直到最大收益点，就得到了有效前沿点集。 点集中的第一点为MVP点，最后一点为 MRP点。 显然，指定的点数越多，则EF曲线越精确。但二次规划 的计算量很大，较为费时，因此通常点数不会很多，金融工具 箱缺省为 1O个点。 (2)构造样条曲线并求导 用样条连接有效前沿点集中的各点，得到EF曲线；再对 样条求导，得到EF曲线的切线。为方便求导，金融工具箱使用 三次多项式样条来拟合数据。 (3)搜索斜率差为零的点 以无风险资产点(O，rf)作为定点，以样条上的点P作为 动点，按照斜率的定义计算出P点到无风险资产点的斜率值 ；记样条在P点的切线的斜率为 ，在MVP点与最大收益 点之间搜索使 一 =0的点，该点即为 (如果切点存 在)。代人样条方程，得到 。 (4)计算 点的组合权重 若 点( ，rM)就是(1)中有效前沿上的点，则可直接 查出其权重。否则可用线性插值法，以点集中各点的横坐标和 对应的组合权重来构造线性插值函数。代人 即可得到 点的组合权重。 按上述方法实现的金融工具箱函数在计算市场最优组合 时常常失效。根据实际数据计算出来的EF曲线可能很短， 甚至退化成一段直线而与 CML线没有切点(只有交点)；更 有甚者，EF曲线与 CML线重合。另外，由于数值计算的误 差，用样条连接点集后得到的有效前沿曲线可能局部非l凸 (尽管文献[2]证明了有效前沿曲线是一条凸二次曲线)。这 些情况下，一维搜索找使斜率差值为零的点是行不通的，因为 该点可能不存在或不唯一。 3 几何法 解决计算失效的问题首先要确定切点是否存在。根据切 点的定义，如果切点存在 ，那么切线 (CML线)一定是过无风 险资产点且与EF曲线相交的直线簇中斜率最大(或最小，但 不符合风险价格要求)的一条直线。因此可从几何的角度改 进计算最优组合的方法。 第一步与金融工具箱中的方法相同，求出有效前沿点集 后，进行如下计算： (1)按照斜率的定义，从 MVP点开始，逐个计算有效前 沿点集中的点与定点 (0，rf)的斜率值，得到一个斜率序列。 序列长度为有效前沿点集中点的个数； (2)判断斜率序列的单调性，选出其中最大者。 记最大斜率点为点集中的第 i点。如果斜率序列单调递 增，那么切点可能为EF曲线右端点(MRP点)或不存在；如果 斜率序列单调递减，那么切点可能为EF曲线左端点(MVP 点)或不存在。 如果斜率序列单调性不确定，那么第 i点在点集内部。根 据文献[2]，有效前沿是一条凸二次曲线，那么在区间( )内，其切线的斜率单调递减，即 k f—l >k ‘ >k +l 而对于过无风险资产点且与 EF相交的直线簇，已知k > k ltk >k 。 ，故切点 必然在第 点附近某个邻域内，要 么是第i点，即 f^= ，要么在第 i点左边，即 f^∈( ， )，要么在第 i点右边，即 f^∈( ， +。)。因此 f^∈( ， )。 此时第 点左边一点 一1和右边一点 +1一定存在。对 这三个点构造的样条就不会出现局部非凸的问题，故可按照 金融工具箱的方法，继续如下步骤： (3)以点集中第 i一1 +1三个点构造多项式样条并 求导。 (4)搜索样条切线的斜率与样条上的点与无风险资产点 的斜率的差值为零的点，得到 。代人样条，得到 。 (5)插值计算 点的组合权重。 几何法通过计算斜率序列确定了切点 的存在性，在进 行一维搜索时指明了搜索区间，因而极大地提高了算法的鲁 棒性。按照几何法实现的函数在计算最优组合时也没有再出 现计算失效的问题。 4 计算实例 以上海证券交易所的四支股票进行组合，计算市场最优 组合如下： 首先以2005年第四季度的收盘价数据计算简单收益率， 得到表 1。 表 1 四只股票的简单收益率均值、方差和标准差 股票名称 中国石化 浦发银行 中国联通 扬子石化 简单收益率均值 O．00254 O．002546278 0．001664 O．004095 简单收益率方差 0．000174 O．000287644 0．000106 O．000494 简单收益率标准差 0．013 191 0．016960061 O．010277 O．022 223 O．0D45 O．OD40 O．0035 O．00l05 O 0 0．005 0．01 0．015 0．O2 0．025 组合风险 (标准差) ‘ 图2 四只股票组合的均值方差有效前沿 假定无风险资产的简单收益率为0．001，有效前沿上的 {； m -墓 ∞ ∞ ∞ ∞ O 0 0 0 0 一 。 维普资讯 http://www.cqvip.com 计算机应用 2007盘 点数取1O(缺省值)，先用金融工具箱函数求出该组合的均值 方差有效前沿点集，并用光滑的曲线连接各点，在图2中用粗 实线表示。 进一步用 Matlab金融工具箱函数计算市场最优组合，结 果失败。从理论上分析 点是存在的，从图上也可看出 点 的大致位置。仔细分析原因，发现是计算误差导致EF曲线在 点附近局部非凸，导致一维搜索失败。 改用本文的方法计算 点， 点的组合权重用线性插值 法得到。以点数为10000时的有效前沿上的斜率最大点作为 的精确值，得到表2。 表2 市场最优组合点的计算结果 可见几何法计算出的 点(0、0129，0、0032)是正确的， 与图2中结果符合得很好。尽管有效前沿上点数很少，组合 权重的误差在0．3％ 以下，也能满足一般应用的需要。在点 数较多(例如100点以上)、计算精度允许(例如le-3)的情况 下，直接以点集中的第 i点作为 点，不再进行一维搜索，这 将极大地提高计算的可靠性、降低计算复杂度，并缩短计算时 间。 需要特别指出的是，金融工具箱在进行组合计算时，仅仅 是从求解数学模型的角度完成计算，而忽略了模型的经济意 义。例如对于负收益率的资产进行组合得到一个低于无风险 利率r，的组合收益率，甚至是负的组合收益率，这样的组合显 然是没有实际意义的。可在几何法计算斜率序列的时候，剔 除斜率为零的点，仅考虑斜率大于零的情况(考虑风险价 格)。如果没有收益率大于 r，的组合，那么此时的最优组合 就应该是购买无风险资产。 对于数学意义上的切点不存在的情形，一般的方法就失 效了。但考虑模型的经济意义，取斜率最大的直线作为 CML 线，以CML线与EF曲线的交点(MVP点或 MRP点)作为M 点，也是合理的。 5 结语 本文提出的计算市场最优组合的几何方法也可应用到允 许借款条件下的借款点的计算 ．3】。该方法简单可靠，对于 市场点的存在性进行了完备的分析，还根据模型的经济意义 对不符合实际意义的解进行了限制，具有较好的可靠性。本 文介绍的方法对于其他平台上的最优组合计算也有借鉴意 义。 致谢：本 文 得 到 了音泰 思计 算 机技 术 (成都 )有 限公 司 (INTASECT．Inc)的大力支持，在此表示感谢。 参考文献： 【1】 BODIE Z，KANE A，MARCUS AJ．投资学【M】．第 5版．朱宝 宪，吴洪，赵冬青，等，译、北京：机械工业出版社，2002． 【2】 王一鸣．数理金融经济学【M】．北京：北京大学出版社，2000． 【3】 LUENBERGER DG．投资科学【M】．沈丽萍，文忠桥，译．北京： 中国人民大学出版社，2005． 【4】 BENN~GA S．财务金融建模——用 Excel工具【M】．第 2版．邵 建利，译．上海：上海财经大学出版社，2003． 【5】 MARKOWITZ HM．资产组合选择和资本市场的均值方差分析 【M】．朱菁，欧阳向军，译．上海：上海人民出版社，2006． (上接第77页) 经过我们多次试验和比对，将权重 设置为0．1， ，设 置为 0．4， 设置为0．5。 例如习题 ex1和习题 ex2的相似度比较： ⋯ 搿，o'2=(措 +搿) ，o's=( + ， I J I ) Sire(ex2，ex3)= I书0-I+ 2书0"2+ 3书0-s=0．8 两种相似度搜索方法各有长处，可视具体情况来确定使 用哪种方法。 5 知识库的实现 当前大多知识库是建立在基于关系的知识表示方法上 的，但面向对象的知识表示方法更能有效地表示各种复杂的 实体及其关系，并且具有良好的推理机制，所以本文采用面向 对象的知识表示方式和面向对象数据库。面向对象数据库研 究的目的就是为了适应诸如 CAD、CAM、CASE、GIS等非传统 领域的需要。这种适应性主要表现在能够定义和操纵复杂对 象，具备引用共享和并发共享机制以及灵活的事务模型(例 如长事务模型、嵌套事务模型、切分事务模型)，支持大量对 象的存储和获取等。 本知 识 库 使 用 的 数 据 库 为 面 向 对 象 数 据 库 AlegroCache【6】。根据概念和知识的不同特性，在数据库中定 义不同的类。每个概念和知识都是数据库中的一个对象，并 且通过不同的指针指向其他对象以表示对象之间的关系。这 样要对概念和知识进行操作，只需要直接对数据库中的对象 进行操作，使操作变得非常方便，同时提高了查询效率。 参考文献： 【1】 (13)屉部贞市郎．几何学辞典【M】．重庆：科技文献出版社重庆 分社，1980． 【2】 余莉．基于语义的几何学科知识平台【D】．中国科学院成都计 算机应用研究所，2006．33—34． 【3】 刘炎禄，俞勇．面向语义 Web的知识表示框架【J】．上海交通大 学学报，2002，36(9)：1309—1316． 【4】 朱礼军．万维网环境下基于领域知识的信息资源管理模式研究 【D】．中国农业大学，2004．40—42． 【5】 张钋，徐剑军，李涓子，等．WODOS：一个语义 Web支撑软件的 研究与实现【J】．小型微型计算机系统，2004，25(11)：1965— 1969． 【6】 WU SC．Data Mining with Alegro CL F~mily of Tools【R】．Franze Ine．20o6． 维普资讯 http://www.cqvip.com